Fragen sind in rot ❣️?
Wie lautet denn die Aufgabenstellung zu deinen ganzen Berechnungen?
aufgabe d) sind die Extrempunkte, die ich herausfinden sollte und e) Nachweis mit Minimum und Maximum herausfinden.
4 Antworten
Hi,
Frage 1: Bei Aufgabe d müsste beide Male ein positiver y-Wert rauskommen. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, sodass bei -1 und +1 beide Male derselbe y-Wert erhalten werden müsste. Zudem sind die Exponenten nur gerade (was auch die Symmetrie erklärt), sodass beise Male +3,99 herauskommen sollte.
Frage 2: Die Funktion sieht aus wie ein W. Die zwei unteren Spitzen des W sind die Tiefpunkte bei x1=1,41 und x2=-1,41. Die obere Spitze des W ist der Hochpunkt bei x3=0.
Frage 3: Drei Nachweise hast du deshalb, weil du drei Extrema hast. Für jedes solltest du prüfen, ob ein Hoch-, Sattel- oder Tiefpunkt vorliegt. Hier bräuchtest du durch die Achsensymmetrie der Funktion sogar nur zwei Extrema (z. B. 1,41 und 0) prüfen, da das Extremum bei -1,41 die selbe Art Extremum ist.
LG
-3,99? Is this right?
Ja das ist korrekt, da gerundet.
Der Genaue wert 4, wenn dein eingesetzter Wert genau wäre (x = Sqrt[2], x = -Sqrt[4]).
Wieso 3 Extrempunkte?
Ein Polynom von Grad n hat maximal n Nullstellen, n-1 Extremstellen, n-2 Wendestellen, ...
Du hast eines von Grad 4: maximal 4 Nullstellen, maximal 3 Nullstellen, ... (Fundamentalsatz der Algebra)
Die beiden Extrema bei f(...) = 4 sind Minima und zwischen zwei Minima ist ein Maxima:
Du kannst sie auch berechnen.
Eine Extremstelle von der Funktion f ist die Nullstelle seiner Ableitungsfunktion f'(x):
f(x) = x^4 - 4 * x^2
f'(x) = 4 * x^3 - 4 * 2 * x
f'(x) = 4 * x^3 - 8 * x
f'(x) = 4 * x^3 - 8 * x
0 = 4 * x^3 - 8 * x
0 = (4 * x^2 - 8) * x | Satz vom Nullprodukt: x = 0
0 = 4 * x^2 - 8 | +8
8 = 4 * x^2 | :4
2 = x^2 | Sqrt[x]
x = +Sqrt[2] && x = -Sqrt[2]
Lösungsmenge:
L = {-Sqrt[2], 0, +Sqrt[2]}
Wieso habe ich 3 Nachweise? Ist das korrekt?
Das ist rund korrekt (du hast bei den letzten beiden "="-Zeichen statt Rundzeichen geschrieben). Du hast 3 Extrempunkte, wie gerade eben schon gezeigt.
Alternativ kannst du sowas auch immer sehr schnell graphisch überprüfen, z.B. am Handy / PC über Desmos (es gibt auch eine App dazu, wenn du es nicht online machen willst), oder du zeichnest dir schnell einen Graphen.
Du könntest auch in den Taschenrechner die Werte in unmittelbarer Umgebung einsetzen. Sind beide größer oder kleiner als der Wert bei der vermeintlichen Extremstelle, so ist es wirklich eine Extremstelle. Z.B. bei x = 0, würdest du 0,0...1 und -0,0...01 einsetzen.
in deiner Klassenstufe ist der größtmögliche Fehler , immer noch Wurzel(2) ins dezimale 1.41 zu bringen.
x² wird nur dann 2 ,wenn man wurz(2) einsetzt , sonst kommt son mist mit 3.99 raus
.
E2 schreibt man als ( w(2)/ -4)
E3 = ( -w(2) / -4)
Es ist Mathe und nicht Werkunterricht.
Du hast die Funktionsgleichung
f(x) = x^4 - 4 x²
Durch ableiten bekommst du (diesen Schritt hast du ausgelassen)
f'(x) = 4 x³ - 8x
Um die Extremstellen zu bestimmen, musst du zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen:
4x³ - 8x = 0
Du kannst 4x ausklammern:
4x (x² - 2) = 0
x= 0 ist also schon mal die erste Nullstelle der Ableitung.
Jetzt kannst du die weiteren Nullstellen herausfinden mit
x² - 2 = 0
x² = 2
x = ±√2
Damit hast du drei potentielle Extremstellen. Und das ist auch die maximale Anzahl für eine Polynomfunktion vierten Grades.
Jetzt musst du prüfen, ob das auch wirklich Extremstellen und keine Wendepunkte sind. Dazu brauchst du die zweite Ableitung:
f''(x) = 12 x² - 8
f''(0) = -8 und das ist ungleich Null, also hast du hier in der Tat eine Extremstelle erwischt. Da das kleiner Null ist, liegt hier ein lokales Maximum.
f'''(√2) = 12 * 2 - 8 = 16, auch Extremstelle
f'''(-√2) = 12 * 2 - 8 = 16 auch Extremstelle
Da das in beiden Fällen positiv ist, hast du hier jeweils ein lokales Minimum.
Du hast DREI Nachweise, weil du drei potentielle Extremstellen hast, für alle drei musst du das dann auch prüfen.
Jetzt kannst du noch die Extremwerte ausrechnen:
f(0) = 0
f(√2) = √2^4 - 4 √2² = 4 - 8 = -4
f(-√2) = (-√2)^4 - 4 (-√2) = -4
Bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich, möglichst mit den Wurzeln weiterzurechnen, da du sonst sehr schnell große Rundungsfehler machst.
Wenn deine Lösung x = √2 ist, dann musst du hinterher für x immer √2 einsetzen, ja.
Die fällt nicht weg ich gebe ja das was aus der Wurzel rauskommt stattdessen in die Funktion ein, da ich nicht weiß ob es mit Taschenrechner funktioniert
lg
Du gibst dann ja immer einen sehr stark gerundeten Wert ein und das erzeugt dann einen Fehler. Wurzel 2 ist ja eben nicht 1,41.
Also muss ich die Wurzel mit in die Funktion einsetzen ???