Frage zu einer mathematischen Aussage in der Mengenlehre?
Wieso gilt die eine Aussage und die andere nicht. Könnte vielleicht jemand für x Beispiele einsetzen und schrittweise durchgehen warum die Aussage für das Eingesetzte gilt oder warum nicht?
5 Antworten
Die leere Menge enthält keine Elemente. Daher muß die zweite Aussage falsch sein, denn ein solches Element kann es nicht geben. Aber die "für alle" Aussage ist richtig, und zwar weil in der Menge gar keine Elemente sind und daher auch eine falsche Aussage gelten kann.
Beispiel: "Alle Einhörner sind rot" ist eine richtige Aussage. Denn da die Menge der Einhörner leer ist, gibt es kein Einhorn mit dem man diese Aussage widerlegen kann.
Hallo,
Nur was mich irritiert ist, warum ist die Menge der Einhörner Leer
Weil es keine Einhörner gibt. DerRoll hat dieses Beispiel gegeben, um die Idee der leeren Menge zu "veranschaulichen".
Nochmal die Aussage:
∀ x ∈ (ℕ₀ ∩ ∅) : x < 0
Die Menge ist ℕ₀ ∩ ∅ , der Durchschnitt der natürlichen Zahlen einschließlich Null mit der leeren Menge, und x ist ein Element dieser Menge.
Welche Elemente haben ℕ₀ und die leere Menge gemeinsam?
Die Antwort lautet: keine.
In der Menge ℕ₀ ∩ ∅ gibt es kein Element, sie ist leer, es gilt: ℕ₀ ∩ ∅ = ∅
Deshalb kann man auch schreiben:
∀ x ∈ { Einhörner } : x < 0 , oder
∀ x ∈ { Einhörner } : x ist rot
denn es gilt: { Einhörner } = ∅
Die Aussage "ein nicht existierendes Element x hat die Eigenschaft A"
(für A eine beliebige Eigenschaft einsetzen) ist immer wahr.
Das mag dir vorerst vielleicht als Haarspalterei anmuten, das ist verständlich.
Meditiere mal darüber.
Gruß
Das verstehe ich ja alles, doch dort steht doch "Alle Elemente von x" und nicht " x als Element". Außerdem würde ich gerne Wissen warum x nicht existent ist. liegt es daran, dass Alle Elemente von x Element von der Leeren Menge sind, doch die Leere Menge überhaupt keine Elemente hat und dementsprechend auch x keine Element hat, was ja eigentlich bedeutet, dass x die Leere Menge ist und die Leere Menge ist ja Element der Leeren Menge, weshalb die Aussage wahr ist?
Ich habe mir auf diversen Internetseiten eine Menge von mathematischen Zeichen in einen Text-Editor kopiert und als Datei gespeichert.
Aus dieser Datei hole ich mir per copy-paste dann immer, was ich brauche.
Ich kopiere dir mal mal die Datei rein, dann kannst du sie für dich kopieren:
∪ ∩ ⊂ ⊆ ⊃ ⊇ ∋ ∌ ∈ ∉ ∈ ] [ ∈ [ ] -- URLs unten !! --
ⅅ ℍ ℙ ∅ ℵ ∈ ℕ ∈ ℤ ∈ ℚ ∈ ℂ ∈ ℝ ∉ ℝⁿ
€ π ∅ ℵ
¬ ∧ ∨ ∃ ∄ ∀
ͦ Ο ᴏ ᴑ ○ ◦ ⊙ ⊗ ⊕ · × • <- mittiger Punkt!
∂ ∂/∂ ∇ ∧ ∨ ∠ ∡ ∢ ∥ ∦ ⏊ ∤ Γ ∑ | aₙ ²| ß
∑ ∏ ∫ ∬ ∭ ∮ +∞ -∞ ∛ ∜ √ ∑ aₙ xⁿ (Nicht) ¬
〈 〉 ≡ ≈ ≅ ≠ ≤ ≦ ≥ ≧ h⁻¹ f⁽ⁿ⁺¹⁾ f⁽ⁱ⁾ f⁽ⁿ⁾
€ ß ← eszet ƒ ⇓ ⇐ ↗ ↓ ↘ ⇨ ⇦ ← → ↔ ⇔ ⇒
½ ⅓ ⅟₃ ⅔ ¼ ¾ ⅕ ⅖ ⅗ ⅘ ⅙ ⅚ ⅐ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ⅑ ⅒ ⅟
Für Exponenten und Indizes:
Bᵃ Bᵇ Bᶜ Bᵈ Bᵉ Bᶠ Bᵍ Bʰ Bⁱ Bʲ Bᵏ Bˡ Bᵐ Bⁿ Bᵒ Bᵖ Bʳ
Bˢ Bᵗ Bᵘ Bᵛ Bʷ Bˣ Bʸ Bᶻ B ͯ Bᵝ Bᵞ Bᵟ Bⁿ Bⁿ⁺¹ Bⁿ⁻¹
B₀ B₁ B₂ B₃ B₄ B₅ B₆ B₇ B₈ B₉ B₊ B₋ B₌ B₍ B₎ x₁,₂
Bₐ Bₑ Bₕ Bᵢ Bⱼ Bₖ Bₗ Bₘ Bₙ Bₒ Bₚ Bₛ Bₜ Bᵤ Bᵥ Bₓ Bₔ
Folgen : aₙ bₙ cₙ
¢ ← Cent ▿ ▵ △ □ ▭ Aₖₗ Mₘₙ Bᵢⱼ ⊨ ⟹ ⎾ ˪
α β γ δ ε λ φ ψ ρ σ τ θ η ξ ζ μ ω π ⍺
Ƭ Ʒ ℘ ℛ ℜ ℬ ℭ ℯ ℳ ℇ ℘ Δ ℬ ℓ ℊ Ω Φ ψ ϴ
Wo steht da "alle Elemente von x"? Da steht "Für alle x gilt: Falls x Element der Schnittmenge von N_0 und der leeren Menge ist". Elemente von x spielen hier keine Rolle. Wird es damit klarer?
Super, danke!!!!!
https://wiki.lspace.org/mediawiki/Multiple_exclamation_marks
'And all those exclamation marks, you notice? Five? A sure sign of someone who wears his underpants on his head.'
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole unter Quantoren
Und? Liest du dir das was ich geschrieben habe durch? Steht da "Für alle Elemente x" oder "für alle Elemente VON x"?
Das verstehe ich ja alles, doch dort steht doch "Alle Elemente von x" und nicht " x als Element".
Das habe ich auch geschrieben. ∀ x heisst "für alle x"
Warum x nicht existiert:
Die leere Menge enthâlt kein Element, sie ist leer (wie der Name schon sagt).
Wenn nun eine Aussage lautet: x ∈ ∅ , dann gibt es x nicht, weil in der leeren Menge nichts enthalten ist.
... doch die Leere Menge überhaupt keine Elemente hat und dementsprechend auch x keine Element hat...
Du vermischst hier Element und Menge. x ist ein Element, keine Menge.
Die leere Menge und ℕ₀ sind Mengen.
Der Durchschnitt der leeren Menge mit jeder beliebigen anderen Menge ist leer.
Und was schreibst du die ganze Zeit?
Schau, mathematische Sprache ist schwierig und Mengenlehre ist wirklich Gehirnverknotung. Aber genau deshalb mußt du exakt darauf achten was du schreibst. Ein falsches Wort zwischendrin und du hast die Aussage eines Satzes oder einer Definition vollständig umgedreht. Das braucht seine Zeit bis du da drinnen bist, aber bis dahin gilt "üben, üben, üben".
Ich schreibe "von", jedoch muss ich zu meiner Verteidigung schreiben, dass ich das von Anfang an tat und mir gesagt wurde meine Interpretation sei richtig.
Das hab ich nicht behauptet, dass war glaube ich das Problem warum ich die ganze Sache nicht verstanden habe.
Hier diese Interpretation gab ich an: "Alle Elemente von der Menge x sind Element von der Schnittmenge von IN und der Leeren Menge (also Element von der Leeren Menge), sofern x kleiner als 0 ist." Mir wurde auch versichert, dass diese korrekt sei. https://www.gutefrage.net/frage/ich-wuerde-gerne-wissen-was-diese-mathematische-aussage-bedeutet
Außerdem bin ich mir nicht sicher was x<0 bedeutet. Heißt das x als Meng ist kleiner als 0 und was hat das dann für Auswirkungen auf dessen Elemente oder heißt das, dass die Elemente von x kleiner als 0 sind.
Die Menge der Einhörner ist leer weil es keine Einhörner gibt. Deshalb ist die Aussage das alle Einhörner rot sind ja auch richtig.
Nein, mit "Menge" ist der Schnitt aus N und der leeren Menge gemeint. Diese Schnittmenge ist wieder die leere Menge und enthält daher keine Elemente. Insbesondere enthält sie kein Element auf was die Bedingung x < 0 erfüllt. D.h. die "Es existiert" Aussage ist falsch, die "Für alle" Aussage ist paradoxerweise richtig, und zwar deshalb weil in diesem Fall "Für alle" gleichbedeutend ist mit "für keine".
Mengenlehre und Logik auf diesem Niveau ist ziemliche Gehirnverknotung, daran mußt du dich leider gewöhnen.
Mir wurde es bloß bei einer anderen Frage anders erklärt, weshalb ich noch mal nachfrage.
Wenn dort statt x<0 stehen würde x>0 wäre die Aussage dann falsch und wenn ja warum?
Wenn du mir das noch beantworten könntest, wäre ich auch am Ende meiner Fragerei.
Nein, die Aussage wäre immer noch richtig. Denn All-Aussagen über die Elemente der leeren Menge sind immer richtig, Existenzaussagen über die Elemente der leeren Menge sind immer falsch.
Perfekt danke. Ein "Experte" hatte mir nämlich etwas anderes erzählt.
Ich habe es mir gerade schon angesehen. Willy1729 sagt genau das selbe wie ich.
Willy: Du mußt es anders herum lesen: Für alle x, die Element aus der Schnittmenge von der Menge der natürlichen Zahlen und der leeren Menge sind, gilt: x<0. Die Schnittmenge der natürlichen Zahlen und der leeren Menge ist aber die leere Menge, die außer der leeren Menge nichts enthält. Da alle x>=0 aberElemente der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 sind, kann für die diese Aussage nicht gelten, der x>=0 wäre ja ein Element von N0 und damit wäre die Menge nicht mehr leer, wie es gefordert ist. Bleiben also nur noch Elemente übrig, die von vornherein nicht zu N0 gehören, so daß die Menge auch leer bleibt.
Er sagt eben nicht dasselbe. Er sagt doch, dass wenn die Bedingung dort "x ist kleiner als 0" lautet, die Aussage nicht gilt(also falsch ist). Du schriebst gerade, dass sie dann immer noch richtig ist.
Nein. Er sagt das die Menge aller x, für die die rechte Eigenschaft gilt leer ist. Die Aussage stimmt aber trotzdem. Willy hat sich da vielleicht ein wenig zu kompliziert ausgedrückt.
Na gut. Ich glaube ich hab es jetzt verstanden. Ich hatte die Aussage falsch gelesen. Danke für die Mühe und die Geduld.
Wenn dort allerdings stehen würde, dass x Element der Leeren Menge ist und nicht alle Elemente der Menge x Element der Leeren Menge sind, wäre die Aussage dann korrekt oder falsch?
Jetzt vermischt du wieder Elemente und Mengen. Mengen könne zwar auch Elemente einer anderen Menge (z.B. der Potenzmenge) sein, aber dann betrachtet man wiederum die Elemente dieser "Mengenelemente" nicht. Immer scharf darüber nachdenken, ob gerade Element- oder Teilmengenbeziehungen gefordert sind.
Könntest du vielleicht schrittweise durchgehen, was dort eigentlich genau steht. Also wie ich das ganze lesen muss. Ich bin mir beispielsweise nicht sicher wie ich mir Alle Elemente von x als Elemente von etwas anderem vorzustellen habe.
Willy: Du mußt es anders herum lesen: Für alle x, die Element aus der Schnittmenge von der Menge der natürlichen Zahlen und der leeren Menge sind, gilt: x<0. Die Schnittmenge der natürlichen Zahlen und der leeren Menge ist aber die leere Menge, die außer der leeren Menge nichts enthält. Da alle x>=0 aberElemente der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 sind, kann für die diese Aussage nicht gelten, der x>=0 wäre ja ein Element von N0 und damit wäre die Menge nicht mehr leer, wie es gefordert ist. Bleiben also nur noch Elemente übrig, die von vornherein nicht zu N0 gehören, so daß die Menge auch leer bleibt.
Ist wohl mehr eine Sache der sprachlichen Feinheiten.
Stell dir mal einen Raum vor, in dem normalen bunte Farbdosen gelagert werden.
Der zurzeit aber komplett leer ist.
Dann kann ich durchaus sagen: "Alle Farbdosen in dem Raum sind grün!"
Einfach aus dem Grund, weil du (da leer) da keine Farbdose finden wirst, die nicht grün ist.
Behaupte ich aber, dass dort mindestens eine grüne Farbe drin ist (in dem Raum "exisitert"), dan muss der Raum ja mindestens eine Farbdose enthalten zwangsläufig.
Insofern kann in einem leeren Raum natürlich nicht eine oder mehr grüne Farbdosen existieren .
genauo ist es bei dir mit deinen Elementen, die bestimmte Eigenschaften haben sollen, und der Frage ob alle Elemente in dem Raum diesen Eigenschaft haben oder eben. ob es in dem Raum 1 oder mehr Elemente mit der Eigenschaft gibt.
Ersteres gilt bei einer leeren menge, letzteres nicht :-)
Danke!
Doch was ist dann die Eigenschaft? etwa das x kleiner als 0 ist oder das Alle Elemente von x Element der Schnittmenge von IN0 und der Leeren Menge sind?
Da steht tut:
Für alle x aus (N0 oder leere Menge) gilt: x<0
Also Alles aus der vereinigungsmenge soll die Eigenschaft x<0 haben.
Warum das richtig sein soll, weiß ich auch nicht.
n0 vereinigt mit leerer Menge sollte eignetlich N0 selber ergeben. Und darin ist ja Alles >=0.
kann höchstens sein dass es da irgendwelche Sonderheiten gibt wenn man mit der leeren Menge vereinigt oder so O_o
Hallo,
Da steht tut:
Für alle x aus (N0 oder leere Menge) gilt: x<0
Also Alles aus der vereinigungsmenge soll die Eigenschaft x<0 haben.
Das hast du verwechselt. Das Zeichen "∩" bedeutet Durchschnitt, nicht Vereinigung.
Es gilt
Vereinigung : ℕ₀ ∪ ∅ = ℕ₀
Durchschnitt : ℕ₀ ∩ ∅ = ∅
d.h. die Aussage lautet: " für alle x aus der leeren Menge gilt x < 0 "
Gruß
zumindest ist das ALlgemein so.
in dem beispiel bin ich mir hier auch nicht sicher da ja eigentlich beide Aussagen falsch sind.
Es gibt ja Gegenbeispiele in N0, wo x nicht <0 ist.
eigentlich müssten beide Zeilen falsch sein O_o
Ich bin blind, die Antwort ist klar:
Das ist ja die Shcnittmenge mit dem umgedrehten u, das heißt
N0 geshcnitten leere Menge= leere Menge.
Und da gilt natürlich das, was ich oben gesagt habe mit dem leeren Farbraum und so! :-)
Bringe die blöden und/oder-Zeichen immer durcheinander -.-
Wäre die erste Aussage auch richtig wenn x>0 also x größer als 0 ist als Bedingung?
Nein. Tatsächlich ist deine erste Aussage mit den Farbdosen richtig. Das es Elemente in N_0 gibt die > 0 sind (genauer sind fast alle Elemente von N_0 größer als 0) ist irrelevant, da da nicht N_0 steht, sondern N_0 geschnitten mit der leeren Menge. Und das Ergebnis dieses Schnitts ist die leere Menge.
@NorbertLustig19:
wenn da x>0 stünde, wäre die für alle Aussage auch wahr. Weils in eine rleeren Menge ja keine Elemente gibt, die die Eigenschaft nicht erfüllen. Gibt also kein gegenbeispiel in dem Sinne.
Die es exisitiert Aussage wäre wiederum falsch, weils halt gar kein x in der leeren menge gibt, geschweigedenn eins mit der Eigenschaft :-)
Es ist keine Sache der sprachlichen Feinheit. Es ist eine logische Folgerung aus den Axiomen der ZFC.
Ein Beispiel für x anzugeben, geht nicht, weil die Menge, aus der das x stammen soll, leer ist.
Erste Aussage:
Für alle Elemente x der leeren Menge gilt: "irgendwas"
Das ist immer wahr, weil es kein Element x (als Gegenbeispiel) gibt, für das "irgendwas" nicht gilt.
Zweite Aussage:
Es gibt ein Element x der leeren Menge ...
Das ist immer falsch, weil es eben kein Element x gibt.
N0 geschnitten mit der leeren Menge ergibt die Leere Menge.
Da die Menge leer ist, gilt "für alle" x in der leeren Menge, dass x < 0 ist. Du kannst dir ja theoretisch jedes x nehmen und prüfen... ist halt eine kurze Prüfung, weil es nichts zu prüfen gibt.
Dass aber ein x existieren soll (egal mit welcher Bedingung) ist halt nicht so, denn die Menge ist leer... wie soll da drin was sein...
Warum stellst du die Frage hier zweimal?
https://www.gutefrage.net/frage/frage-zu-einer-mathematischen-aussage-in-der-mengenlehre
Offensichtlich verstehst du nicht, was eine Schnittmenge ist. Eine Schnittmenge ist die Menge, die in den einzelnen Mengen vorkommt. Eine Menge "durchgestrichenes O" ist die Null- oder leere Menge. Wenn ich diese Menge mit einer anderen schneide, dann kann die Schnittmenge nicht plötzlich etwas anderes enthalten als die Leere Menge, denn per Definition ist die Leere Menge eine Untermenge jeder beliebigen anderen Menge. Und wenn nun irgendein x Element dieser Schnittmenge sein soll - wie angegeben - so ist dieses x auch leer, d.h., es existiert nicht.
Die zweite Aussage - und da hat einer meiner Vorredner ein kleines Wörtchen vergessen, es heißt dort nämlich das kleine Wörtchen mindestens. Und mindestens ein x gibt es ja nicht, denn mindestens heißt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder.....Noch nicht mal ein x ist da, denn x soll ja leer sein, also existiert x überhaupt nicht.
@NorbertLustig19
Nein, da man ein x, welches überhaupt nicht existiert, nicht mit einem existierenden x vergleichen kann.
Ich habe die gleiche Frage 2 mal gestellt, da ich nicht wusste, dass man die Frage auch nochmal reinstellen kann und außerdem hat es doch funktioniert, denn ich bekam Antworten die ich besser verstand, weshalb ich die Aussage nun auch verstehe. Verstehst du jetzt warum ich die gleiche Frage noch einmal gepostet habe?
MfG
Deine Norbert
Ach ja, ich habe übrigens sehr wohl verstanden, dass die Schnittmenge von einer Menge und einer Leeren Menge, die Leere Menge ergibt. Was ich nicht verstand, ist, was es mit dem x auf sich hat. Ich setzte die ganze Zeit Zahlen dafür ein, die kleiner als Null sind, damit die Aussage gilt, doch eine solche Zahl gibt es ja gar nicht.
Danke!
Nur was mich irritiert ist, warum ist die Menge der Einhörner Leer. Ich nehme an mit der Menge ist x gemeint. Liegt es daran, dass x<0 ist und damit x nicht zu IN0 gehört, was bedeutet, dass es keine Elemente hat oder warum?