Frage von AnonyJS, 65

Genauer Unterschied von einer Existenzaussage und Allaussage (Mengenlehre, Logik)?

Ich weiß schon was eine Existenzaussage ist und eine Allaussage. Es geht mir vor allem um die leere Menge die ja keine Elemente besitzt.

So gilt nach der Existenzaussage:

Es existiert ein Element in der leeren Menge, das nicht gilt...

Davon die Allaussage: Für Alle Elemente der leeren Menge gilt: jenes

Die erste Aussage ist falsch, das ist für mich verständlich. Da ja die leere Menge keine Elemente besitzt, existiert auch kein Element was die Aussage erfüllen könnte.

Die zweite Aussage soll richtig sein, total unverständlich. Ich kann sie mir zwar durch andere Wege trivial herleiten.

Aber es scheint das die Anderen die an sich so verstehen und ich eben nicht. Hauptsächlich verwirrt mich: Alle Elemente von der leeren Menge. Das geht doch nicht, so wird doch eindeutig impliziert das die leere Menge Elemente besitzen müsste damit die andere Aussage gilt. Tut es doch aber nicht, ex existiert kein Element.

Kann mir das irgendjemand verständlich erklären? Ich wäre wirklich sehr dankbar.

Antwort
von varlog, 32

Wie würde man denn auf trivialen Weg (für endliche und ziemlich kleine Mengen) solche Aussagen beweisen?

Für Existenz suchst du dir ein Element aus der Menge raus und zeigst, dass die Aussage gilt. Wenn du ein solches Element findest bist du fertig und die Aussage ist bewiesen. Allerdings eben erst sobald du eins gefunden hast!

Für den Allquantor musst du dir jedes Element aus der Menge angucken und zeigen, dass die Aussage für das jeweilige Element gilt. Sobald du eines findest für das die Aussage nicht gilt, ist die Aussage falsch.

Deswegen bei Existenz auf die leere Menge kannst du kein Element finden, also ist die Aussage falsch. Beim Allquantor auf die leere Menge gilt die Aussage eben für alle Elemente der Menge, daher ist die Aussage wahr.

Kommentar von AnonyJS ,

Danke, das ist genau das was ich gesucht habe! :-) Daraus folgt also das jede Aussage: Für Alle n von der leeren Menge gilt:... richtig sein oder?

Kommentar von Nedam ,

@AnonyJS Genauso ist es.

Antwort
von Nedam, 21

Wesentlicher Unterschied

(1) Existenzaussage mit der leeren Menge:

∃ x ∈ Ø: x ∈ B

(2) Allaussage mit der leeren Menge:

∀ x ∈ Ø: x ∈ B

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Der wesentliche Unterschied besteht darin, das in (1) behauptet wird es existiert ein Element in der leeren Menge. Das ist absolut falsch.

In (2) wird nicht konkret besagt das die leere Menge ein Element besitzen muss. Es wird lediglich gesagt das wenn diese Elemente enthalten wären, gilt. Nicht aber das sie enthalten sein müssen.

-> Man kann also ohne Probleme behaupten in (2) das dies gilt, da eben kein Element existiert was dies widerlegen könnte.

---

Beispiel

(2.1) "Für alle Partikel im leeren Beutel gilt: die Partikel sind grün."

Dies wäre gerade (2). Da keine Partikel im leeren Beutel enthalten sind, kann man ohne weiteres behaupten die Partikel sind grün.

(2.1) heißt ja nichts anderes als, wenn Partikel im leeren Beutel enthalten wären, sind sie grün.

---

Bei Fragen kommentieren.

MfG, Nedam

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 13

Als Programmierer bringe ich mal ein Beispiel aus meinem eigenen Fach:

Bei den (aus heutiger Sicht primitiven) BASIC-Dialekten, die es zu meiner Kindheit gab, wurde eine FOR-Schleife immer mindestens einmal durchlaufen:

10: PRINT "Vorher"
20: FOR I = 3 TO 2
30: PRINT I
40: NEXT I
50: PRINT "Nachher"

ergab die Ausgabe

Vorher
3
Nachher

Daraus können wir schließen, dass die Schleifenbedingung erst am Ende der Schleife ausgewertet wird.

In Visual Basic (VB(A) 6; .NET ähnlich):

Debug.Print "Vorher"
For i = 3 To 2
Debug.Print i
Next
Debug.Print "Nachher"

ergibt die Ausgabe

Vorher
Nachher

Daraus können wir schließen, dass die Schleifenbedingung schon am Anfang der Schleife ausgewertet wird.

Interessanter wird es, wenn man indiziert auf ein "Array" mit N Elementen zugreift:

150: FOR I = 0 TO N - 1
160: PRINT A$(I)
170: NEXT I

führt bei N = 0 zu einem Fehler, wenn A$() nicht wenigstens 1 Element (das den Index 0 hat) enthält. (Auf die Schwierigkeit, dass manche BASIC-Dialekte Indizes auch noch bei 1 beginnen ließen, will ich hier nicht eingehen.) Man muss also vorher prüfen, ob N > 0 ist.

Hingegen ist es überhaupt kein Problem,

For i = 0 to n - 1
Debug.Print a$(i)
Next

ausführen zu lassen, selbst wenn a$ ein leerer Bereich ist.

-----

Die erste Implementation einer FOR-Schleife entspricht der scholastischen Auffassung, dass man "für alle" nur sagen kann, wenn es auch "mindestens eins" gibt.

Die zweite Implementation, bei der man keinen Fehler machen kann, wenn der Bereich der Schleife leer ist, entspricht der Auffassung der modernen Mathematik, dass man keine falsche Aussage über ein Element machen kann, wenn der Bereich der Aussageform leer ist.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 29

Das Äquivalent zu "∀ x ∈ ∅ : F(x)" ist "¬∃ x ∈ ∅ : ¬F(x)" 

Beispiel:
Für jeden Menschen aus der Menge der Menschen gilt: Der Mensch wurde geboren.
Es gibt nicht einen Menschen aus der Menge der Menschen, für den gilt: der Mensch wurde nicht geboren.

Du hast also falsch verneint.

Die Verneinung der ersten Aussage müsste sein

Für nicht Alle Elemente der leeren Menge gilt: jenes (ohne nicht)

Beispiel

Für alle Elemente x der leeren Menge gilt: "x ist doof"

äquivalent zu

Es gibt nicht ein x aus der leeren Menge, für das gilt: "x ist nicht doof"
____________

PS: Mit ¬∃ meine ich ∄

es existiert nicht ein = es existiert kein

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