Fourierreihe bestimmen wie hier?

gegeben ist die 2 pi periodishe funktion

f(x)= 1 für x element von [0, pi)

und 0 für x element von [pi,2pi)

Skizziere die Grenzfunktion der fourierreihe von f auf 0 bis 4 pi

und bestimme dann die Fourierreihe von f

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

[aperfect10]

Einfach nur die Fourier-Reihe von f zu bestimmen ist kein Problem, das funktioniert immer gleich.

Hier haben wir die Fourier-Reihe von f:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)$

mit

$a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)\,dt$ $b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)\,dt$ Wir nehmen hier einfach an dass f überall gleich seiner Fourier-Reihe ist (ist sie nicht, f ist ja nicht mal stetig), von Konvergenz war ja nicht die Rede.

Jetzt müssen wir einfach nur einsetzen und ausrechnen:

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(0)\,dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 0\cdot\cos(0)\,dt + \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi 1\cdot\cos(0)\,dt = 1$ $a_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi 1\cdot\cos(kt)\,dt = \frac{\sin(\pi k)}{\pi k}$ $b_k = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi 1\cdot\sin(kt)\,dt = \frac{1-\cos(\pi k)}{\pi k}$

Dann setzen wir die Koeffizienten in die Reihe ein und fassen zusammen, das macht etwas Arbeit mit den Sinus- und Kosinussätzen. Nimm es mir nicht übel wenn ich Dir das überlasse.

$f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^\infty \cos(kt)\frac{\sin(\pi k)}{\pi k}+\sin(kt)\frac{1-\cos(\pi k)}{\pi k}$ ergibt zusammengefasst

$f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(k(\pi-t))+\sin(kt)}{\pi k}$

Fertig, jetzt können wir zeichnen. Oder zeichnen lassen.

Die Grafiken zeigen f (blau) und die Fourier-Reihe (grün), bis zur n-ten Partialsumme.

n = 1

n = 5

n = 50

Hilft Dir das weiter?

PS: Das hat nicht direkt etwas mit Deiner Frage zu tun, aber hier ist noch ein Screenshot von einer der Sprungstellen. Hier kann man schön das Gibbssche Phänomen beobachten: