Wie funktioniert diese Aufgabe?
Hallo,
Kann mir jemand erklären wie diese Aufgaben zu lösen sind?
Ein Kreis mit Radius r hat den Flächeninhalt A= Pi*r² und den Umfang U = 2* Pi * r.
a) Die Funktion f ordnet dem Umfang den Flächeninhalt zu. Geben Sie die Gleichung von f an.
b) Berechnen sie f(1) und f (2Pi) und interpretieren Sie deren Bedeutung.
c) Berechnen Sie den Umfang, den ein Kreis mit dem Flächeninhalt 25 hat.
d) Geben Sie allgemein den Umfang als Funktion des Flächeninhaltes an
2 Antworten
Eine Funktion ordnet "allgemein gesprochen" jedem x-Wert einen y-Wert zu.
Hier soll bei a) dem Umfang der Flächeninhalt zugeordnet werden, d. h. die Funktion soll von U abhängig sein und den Flächeninhalt ausgeben. D. h. Du musst die Flächenformel so abwandeln, dass rechts nur noch U steht, und somit die Fläche A nun alleine vom Umfang U abhängt und nicht, wie üblich, vom Radius r...:
U=2 * Pi * r ; A = Pi * r² = 2/2 * Pi * r * r = 2 * Pi * r * 1/2 * r = U * r/2
Jetzt muss noch das r als Unbekannte weg: U=2*Pi*r <=> r=U/(2*Pi)
also A=U * (U/(2*Pi))/2 = U²/(4*Pi)
als Funktion f in Abhängigkeit von U: f(U)=U²/(4*pi)
b) f(1) und f(2pi) ausrechnen und "irgendwas" einfallen lassen, was das bedeuten soll (ich "liebe" solche Aufgabenstellungen...)
c) hier ist nach f(U)=25 gefragt, d. h. das nach U umstellen
d) jetzt ist nach der Funktion f(A) gefragt, d. h. Du musst die Formel für den Umfang so "bearbeiten", dass rechts das A als Unbekannte steht und nicht mehr r
Nachtrag zu d): oder viel einfacher: einfach die "neue" Flächenformel A=U²/(4pi) nach U umstellen...
A=πr² (*)
U=2πr (**)
gesucht: A(U)
(**) --> r²=U²/(4π²)
Einsetzen in (*):
A(U) = π• U²/(4π²)
A(U) = U²/(4π)
----
U² =4π•A
U(A) = 2•√(A•π)
----
A=25 --> U(25)=10•√π
U=2π --> A(2π)=π
(Fläche des Einheitskreises mit r=1)
🤓