Folgen und Reihen Aufgabe?
Hallo, kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen, komme nicht weiter:
46. Ein Ball wird (vom Boden) 3 m in die Höhe katapultiert. Nach jedem Aufprall springt er nur mehr auf 𝟕𝟓 % seiner vorherigen Höhe.
- a) Gib eine rekursive und eine explizite Darstellung der Sprunghöhe an.
- b) Welchen Weg legt der Ball bei den ersten fünf, zehn und 𝑛 Sprüngen zurück
danke inzwischen
2 Antworten
Hallo raphael60106616,
"rekursiv" heißt, dass man eine Vorschrift hat, welche die n. Sprunghöhe hₙ in Beziehung zur (n − 1). Sprunghöhe hₙ₋₁ setzt, respektive hₙ₊₁ in Beziehung zu hₙ. In diesem Fall ist also, mit der Konstanten α = 0,75:
(1.1) hₙ₊₁ = α∙hₙ
bzw.
(1.2) hₙ = α∙hₙ₋₁.
"Explizit" bedeutet, eine Formel zu haben, in der man hₙ₋₁ nicht kennen muss, um hₙ zu berechnen, sondern nur h₀ = 3 m für alle:
(2) hₙ = αⁿ∙h₀
Was den Gesamtweg betrifft, ist für jeden Sprung einschließlich des allerersten der Weg 2∙hₙ, und diese Wege addieren sich bis zum Ende des n. Sprungs auf zu
(3) h₀∙∑ₖ₌₀ⁿ αᵏ = h₀∙(1 − αⁿ)⁄(1 − α),
was für n → ∞ gegen 1⁄(1 − α) geht, den Grenzwert einer Geometrischen Reihe in α.
In unserem Fall ist der Grenzwert 4, was einen Gesamtweg von 12m bedeutet. Für die Ergebnisse aus der Aufgabe musst Du einfach n=5 und n=10 setzen.
Wie hoch hüpft der Ball beim ersten Mal?
wie hoch hüpft er beim 2. Mal?
etc.
du sollst eine Funktion finden, die dir die aktuelle Sprunghöhe angibt.
f(n), wobei n dir angibt das wievielte mal es ist (ob eben das erste mal n=1, das zweite mal n=2, etc.)
und f(n) dir die sprunghöhe beim n-ten Mal angibt.
beim n-ten Mal hüpft der Ball 75% des (n-1)-ten Mal, bekanntlich.
Wie lautet also eine rekursive Darstellung?
Und könntest du damit auf eine explizite Form ?
und bei 2) sollst du einfach die verschiedenen Sprunghöhen addieren (2 mal pro Sprung, der Ball geht ja hoch und runter)