Faktorräume?
Man hat einen Vektorraum V und U ist ein Unterraum von V. Wenn U jetzt eine Gerade wäre also R2, dann kann man diese ja im Koordinatensystem verschieben, also v + U : v Element V, die v mit denen man es verschieben kann bilden dann die Nebenklassenführer, oder? Der Faktorraum ist ja dann {v + U : v Element V} =: V/U, in dem Beispiel, wenn U eine Gerade wäre, die man durch durch v Element V verschoben wird, müsste der Faktorraum von V/U doch das gesamte Koordinatensystem sein, also alle Werte? Hab ich das richtig verstanden?
1 Antwort
Nein, der Faktorraum stellt in Deinem Beispiel die Menge aller zu Deiner Geraden U parallelen Geraden dar. Jede zu U parallele Gerade schneidet die y-Achse in einem anderen Punkt, den man als Repräsentanten der Äquivalenzklasse sehen kann. Somit kann man die y-Achse als Menge aller zu U parallelen Geraden, somit als den Faktorraum sehen - dasselbe gilt auch für die x-Achse oder jede Gerade, die nicht parallel zur Geraden y ist…
Der Faktorraum ist eindeutig, nur die Wahl des Repräsentantensystems nicht. Jeder Repräsentant steht für eine Gerade, er ist ja nicht die Gerade selbst.
Wenn du jetzt zwei Repräsentantensysteme hast, stehen da vielleicht unterschiedliche Vektoren drin, aber sie repräsentieren immer noch dieselben Geraden.
Mal ganz platt ausgedrückt: Wenn du heute einen Politiker schickst, um Deutschland in einer Diskussion zu vertreten, und nächstes Jahr einen anderen Politiker schickst, dann hast du zwei unterschiedliche Repräsentanten, aber das Deutschland ist dasselbe ;)
Danke! Wenn der Faktorraum die y-Achse wäre, also x = 0, dann liegen alle diese Repräsentanten auf der Geraden x = 0 und alle verschobenen Geraden v + U würden die Gerade x = 0 schneiden. Man kann nun aber doch auch die Repräsentanten so wählen, dass sie um eins nach links verschoben sind, also das alle Repräsentanten auf der Geraden x = -1 liegen. Auch da würden alle verschobenen Geraden v + U durchgehen. Dann wäre der Faktorraum doch x = -1 und nicht mehr x = 0?
So ist es - man kann natürlich auch als Repräsentant einer Nullpunktsgeraden deren Steigung nehmen; dann erhält man auch wieder die ganzen reellen Zahlen, somit eine Gerade… :-)
Der Faktorraum ist nach wie vor die Menge aller Geraden. Das einzige, was du änderst, ist die Repräsentation dieser Geraden. Im ersten Fall hast du
{ [(0,y)] | y ist eine reelle Zahl } und im zweiten Fall hast du
{ [(1,z)] | z ist eine reelle Zahl }.
Das macht von der Menge her aber keinen Unterschied. Nehmen wir an, U ist die Gerade mit der Funktionsvorschrift g(x) = x.
Dann ist [(0,1)] = (0,1) + U die Gerade mit Funktionsvorschrift g(x) = x + 1.
Dieselbe Gerade erhalte ich durch [(1, 2)] = (1, 2) + U. Damit sind (0,1) und (1,2) Repräsentanten für dieselbe Gerade, was bedeutet dass deren Äquivalenzklassen identisch sind: [(1,2)] = [(0,1)].
Etwas allgemeiner gilt für dieses U immer [(0,y)] = [(1,y+1)], weswegen die beiden oben definierten Mengen identisch sind:
Für jedes y finde ich ein z, sodass [(0,y)] = [(1,z)] gilt (und umgekehrt).
Also ist die Gerade/ Funktion auf der alle Repräsentanten (Nebenklassenführer) liegen der Faktorraum und nicht alles was die Geraden abdecken (weil die würden ja theoretisch das gesamte Koordinatensystem abdecken, wenn man sie immer verschiebt). Dann ist der Faktorraum aber doch nicht eindeutig oder, da man ja auch eine parallele Gerade der y-Achse nehmen könne, da man auch die Punkte auf dieser Geraden als Repräsentanten nehmen könnte?