Faktorisieren?
Hallo,
ich habe folgende Gleichung
Ich habe probiert diese zu lösen in dem ich irgendwas ausklammer. Ich habe probiert x^2 auszuklammern aber das hat mir nicht weitergeholfen, weil ich dann ja 6/x da stehen habe. Und dann habe ich schließlich den Taschenrechner gefragt und geguckt ob der mir irgendwie weiterhelfen kann.
Der Taschenrechner sagt folgendes:
Mit dieser Form kann ich die Nullstellen ja sehr schön ablesen, aber wie ist der Taschenrechner darauf gekommen? Ich kann das leider gar nicht nachvollziehen.
Ich wünsche euch noch einen schönen Abend.
An die Leute die es noch interessiert: Das was der Taschenrechner gemacht hat ist eine Linearfaktorzerlegung, welche man mittels Polynomdivision erreichen kann. Weil es niemand in den Antworten erwähnt hat, habe ich mir gedacht dies hier noch zu ergänzen.
4 Antworten
Schritt 1 : Das x musst Du ausklammern, also :
Schritt 2 : Nutze den Faktorsatz, damit Du den Rest faktorieren kann.
Hier bekommt man ein Ergebnis von ( x + 1 ), einfach dadurch teilen. Du hast dann ein Ergebnis von
Nachdem Du x^2 - x - 6 faktorierst, kommt ( x + 2 )( x - 3 ) raus.
Hier sind die Lösungen x = 0, -1, -2, oder 3.
Lösungsweg:
X ausklammern, Satz vom Nullprodukt.
Nullstelle raten, Polynomdivision, Pq-Formel.
Du kannst natürlich auch die cardanischen Formeln nutzen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln?wprov=sfla1
Erstmal x ausklammern, da jeder Summand x als Faktor hat. Es bleibt
x^3-7x-6 = 0
Jetzt kannst du Nullstellen raten, da das eine Aufgabe in der Schule ist. "Raten" geht in dem Falle so, dass du alle Teiler von "6" in die Gleichung einsetzt und schaust, ob Null 'rauskommt: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Damit wirst du schnell fündig: -1 ist eine Nullstelle.
Jetzt kannst du Polynomdivision machen und hast eine quadratische Gleichung. Die kannst du mit der pq-Formel lösen.
Wie funtkioniert das mit dem Raten genau? Ich finde diesen Weg mit dem Raten irgendwie komisch, gibt es da noch einen exakteren Weg?
Meine Frage war ja eigentlich wie der Taschenrechner auf die Form x(x-3)(x+1)(x+2) kommt, weil mit dieser Form kann man dann ja die Nullstellen sehr einfach und schlüssig bestimmen.
Ich finde diesen Weg mit dem Raten einfach sehr schwammig. Wie sieht das denn dann z.B. aus wenn ich die folgende Gleichung hätte: x^3-7x-10^1000=0. Muss ich dann alle Teiler von 10^1000 durchraten? Es muss ja einen eindeutigeren, nachvollziehbarerern Weg geben.
Das mit dem Raten ist schon in der Schule die Methode der Wahl. Der Grund dafür ist, dass das konstante Glied das Produkt der Nullstellen ist, und Nullstellen in der Schule sind in aller Regel so konstruiert, dass sie "nett" sind, also ganzzahlig und klein.
Bei einem Polynom dritten Grades gibt es auch eine explizite Formel, aber die kann man sich echt nicht gut merken. Ich würde da mit Raten vorgehen.
Okay aber wie soll ich beim Raten wissen, dass die geratene Nullstelle wirklich eine Nullstelle ist? Wenn man z.B. die Gleichung (x^2)/(1+(1/2)x)+4/(x^2)+1=0 hat. Dann könnte man x=0 als Nullstelle raten, aber 0 ist hier in diesem Fall eine Definitionslücke.
Ich weiß, dass man hier die Nullstellen einfacher berechnen kann, aber einfach allgemein genommen, kann es ja auch sein, dass ich eine Nullstelle rate die aber eigentlich eine Definitionslücke ist, weil sonst irgendwo durch 0 geteilt wird oder so.
Insbesondere ist dir von dir angegebene Funktion kein Polynom, und mein Tip bezog sich ausschließlich auf Polynome.
Du kannst herausfinden, ob eine Stelle x0 eine Nullstelle ist, indem du sie in die gegebene Funktion einsetzt und schaust, ob Null herauskommt. Man könnte von mir aus "Raten" auch durch "Ausprobieren" ersetzen.
Es gibt kein allgemeines Verfahren, von beliebigen Funktionen die exakten Nullstellen zu berechnen. Natürlich gibt es Näherungsverfahren, z.B. das Newton-Verfahren, aber die liefern dir keine exakten Lösungen, sondern halt nur Näherungen.
Okay aber wie soll ich beim Raten wissen, dass die geratene Nullstelle wirklich eine Nullstelle ist?
siehe hier wo fett .
so geht es
x ( x³ - 7x - 6)
jetzt raten : man weiß dass nur 1 , 2 , 3 oder 6 in Frage kommen ( und die Minus dieser Zahlen)
+1 nö
-1 ja , denn (-1)³ - 7*-1 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0
Weil man -1 gefunden hat , muss es auch eine Nullstelle sein !
.
die -1 wird zum Teiler (x+1)
Gibt es da vielleicht noch einen nachvollziebareren Weg? Wie z.B. kommt der Taschenrechner auf die folgende Form x(x-3)(x+1)(x+2)? Weil mit dieser Form kann man dann ja die Nullstellen sehr schön ablesen.
Oder ist es wirklich der offizielle Weg eine Nullstelle zu raten wenn man eine kubische Gleichung hat?