Wann kann man die Linearfaktorzerlegung anwenden und wie mache ich das?
Hallo Leute,
ich schreibe demnächst eine Klausur in Mathematik.
Ich verstehe die Linearfaktorzerlegung nicht. Wann kann man diese anwenden ( wie muss die Gleichung aussehen?) und wie mache ich das? Ich weiß, dass man dadurch die Nullstellen direkt ablesen kann.
Ich bitte um Hilfe.
1 Antwort
Es kommt u. a. auf die Terme an, d. h. ob man evtl. direkt erkennen kann, was man ausklammern kann oder ob man in einem quadr. Term einen Binom erkennt, oder ob man tatsächlich mit passenden Mitteln erst einmal die Nullstellen (oder zumindest die erste) "per Hand" ermitteln muss.
Hat man eine Nullstelle erkannt/ermittelt, dann kann man den Faktor "(x minus diese Nullstelle)" vom Gesamtterm "abspalten", d. h. ausklammern. Um an den Restterm zu kommen, wird man wohl oder übel die Polynomdivision anwenden müssen (alternativ das Horner-Schema).
Hast Du z. B. die Funktion f(x)=3x²+36x+108, dann kannst Du da erst mal die 3 ausklammern, erhältst also =3(x²+12x+36). So, nun erkennst Du entweder, dass die Klammer ein Binom ist, d. h. Du hier "eigentlich" direkt eine quadr. Klammer draus machen kannst, oder Du nutzt z. B. die pq-Formel, um an die Nullstellen zu kommen, was hier nur x=6 wäre, d. h. Du kannst aus dem Term 3x²+36x+108 den zerlegten Term 3 * (x-6)² machen.
Hast Du z. B. mal einen Term 3. Grades oder höher und musst die erste Nullstelle ermitteln(manchmal klappt erraten), dann musst Du, wie oben "angedroht", mit der Polynomdivision (oder Horner-Schema) weitermachen, um an den Restterm zu kommen, um dann von diesem die nächste(n) Nullstelle(n) zu berechnen.
Beispiel: f(x)=x³+3x²-x-3
Hier kannst Du recht leicht x=1 als erste Nullstelle erraten, d. h. Du musst nun (x³+3x²-x-3) durch (x-1) teilen, d. h. durch (x minus erkannter Nullstelle), um an den Term zu kommen der übrig bleibt, wenn Du (x-1) ausklammerst. Da wird dann in diesem Fall x²+4x+3 rauskommen. Das kannst Du nun mit der pq-Formel lösen und kommst auf x=-1 und x=-3 als weitere Nullstellen, d. h. Du kannst aus x²+4x+3 den Term (x+1)(x+3) machen, d. h. aus f(x)=x³+3x²-x-3 wird f(x)=(x-1)(x+1)(x+3). Dieser letzte Term ist der nach der Linearfaktorzerlegung...