Extremwertaufgaben in Mathe, Hilfe?
Ein 30 cm länger Draht soll in 2 Stücke zerschnitten werden;aus dem ersten Stück soll ein quadrat gebogen werden, aus dem zweiten soll ein Kreis entstehen. Die summe der flächeninhalte von Kreis und quadrat sollen extremal sein. Wo muss der Draht zerschnitten werden?
Ich verstehe Bahnhof. Kann mir jmd helfen? Danke :,)
5 Antworten
Zum einen vermute ich mal es ist maximal und nicht extremal gemeint (außer es sind 2 Aufgaben 1x für maximal und minimal).
Dann schaust du was du gegeben hast:
l= 30; A(K) + A(Q)= max; U(K) + U(Q)= l
A(K) = pi * r² ; U(K) = 2 * pi * r
A(Q)= a² ; U(Q)= 4 * a
2*pi*r + 4*a = 30 -> nach a oder r umstellen und in eine der Flächengleichungen einsetzen
A(Q)= [(15-pi*r)/2)² -> vereinfachen und dann die beiden Flächengleichungen zu einer Funktion addieren
f(r)= (pi + pi²/4)*r² - 15/2*pi*r + 225/4
Jetzt hast du eine quadratische Funktion von der du die Extrempunkte ausrechnen kannst und mit der daraus resultierenden Größe von r kriegst du leicht die restlichen Werte raus.
Hallo,
ist doch klar: Du hast einen Draht von 30 cm Länge, den Du in zwei Stücke zerschneiden sollst. Aus dem einen Stück formst Du ein Quadrat, aus dem anderen einen Kreis. Die Summe der Flächen von Kreis und Quadrat soll möglichst groß werden.
Nenne das erst Stück x, das zweite y.
Zunächst weißt Du, daß x+y 30 cm ergeben:
x+y=30 (das wird Nebenbedingung genannt; die Nebenbedingung brauchst Du, um eine Unbekannte loszuwerden, denn Du kannst jetzt schreiben:
y=30-x)
In den Gleichungen, die wir als nächstes aufstellen, werden wir am Ende jedes y durch den Term 30-x ersetzen, damit nur noch eine Unbekannte im Spiel ist.
Wie kommen wir an andere Gleichungen? Natürlich über die Formeln für die Quadrat- und für die Kreisfläche.
Fläche (Quadrat=a², wobei a eine von vier gleich langen Seiten des Quadrates ist.
Aus dem Draht, der die Länge x hat, formen wir ein Quadrat. Wir biegen den Draht so, daß er in vier gleich lange Stücke unterteilt wird. Eine Quadratseite hat also die Länge x/4.
Da die Fläche des Quadrates eine seiner Seiten zum Quadrat ist, haben wir schon mal die Gleichung für die erste Fläche: (x/4)²=x²/16
Nun die Kreisfläche. Den Kreis biegen wir aus dem Draht mit der Länge y, also aus dem Rest der 30 cm, nachdem wir x cm für das Quadrat abgeschnitten hatten.
Die Formel für die Kreisfläche lautet Pi*r², wobei r der Radius des Kreises ist.
y ist natürlich nicht der Radius unseres Kreises, sondern der Umfang. Aus dem Umfang können wir aber den Radius berechnen, indem wir ihn durch 2*Pi teilen: r=y/(2*Pi)
Die Kreisfläche ist also Pi*(y/(2*Pi))²=Pi*y²/(4*Pi²)=y²/(4*Pi), denn ein Pi können wir kürzen.
Vergiß nicht, daß r hier dasselbe ist wie y/(2*Pi)
Nun wissen wir aus der Nebenbedingung, daß y dasselbe ist wie 30-x
Nun können wir die Kreisfläche so ausdrücken:
(30-x)²/(4*Pi)
Nun haben wir alles, was wir brauchen: Wir haben die Gleichung für die Quadratfläche und die für die Kreisfläche und wir haben nur noch eine Unbekannte, nämlich x.
Nun können wir für die Gesamtfläche die Funktion aufstellen:
f(x)=x²/16+(30-x)²/(4*Pi)
x soll nun so gewählt werden, daß eine möglichst große Zahl dabei herauskommt, denn diese Funktion liefert Dir für jede Länge von x, also für jedes Stück, das Du von dem Draht für das Quadrat abgeschnitten hast, die Fläche vom Quadrat und vom Kreis zusammen. Ist ja klar: Je weniger Du für das Quadrat brauchst, desto mehr Draht bleibt für den Kreis übrig und umgekehrt.
Um zu wissen, für welches x die Funktion ein Maximum annimmt, müssen wir die Ableitung bilden und diese dann auf Null setzen. So bekommen wir mögliche Werte für ein Maximum heraus.
f'(x)=x/8-2*(30-x)/(4*Pi)
2 und 4 kannst Du kürzen:
f'(x)=x/8-(30-x)/(2*Pi)
Das setzen wir nun auf Null:
x/8-(30-x)/(2*Pi)=0
Alles auf einen Nenner, Hauptnenner ist 8*Pi:
[Pi*x-4*(30-x)]/(8*Pi)=0
Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner verschwindet dieser:
Pi*x-4*(30-x)=0
Wir lösen die Klammer auf:
Pi*x-120+4x=0
Nun klammern wir x aus und bringen die 120 nach rechts:
x*(Pi+4)=120
Nun noch beide Seiten der Gleichung durch (Pi+4) teilen:
x=120/(Pi+4)=16,8
Nun ist allerdings zu prüfen, ob es sich hier tatsächlich um ein Maximum handelt. Das ist dann der Fall, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ ist.
f''(x)=1/8+x/(2*Pi).
Wenn Du hier für x 16,8 einsetzt, bekommst Du aber ein positives Ergebnis. Du bekämst also, schneidest Du für das Quadrat 16,8 cm ab, die minimale, nicht die maximale Fläche.
Da diese Funktion keine anderen Extremstellen hat, mußt Du überlegen, wo denn nun das Maximum sein kann. Es handelt sich um eine Parabel, die im Scheitelpunkt ihr Minimum hat und von da aus nach beiden Seiten gleichermaßen ansteigt.
Für unskommen aber nur x-Werte von 0 bis 30 in Frage, denn länger als 30 cm ist der Draht ja nicht.
Vom Scheitelpunkt, also von x=16,8 ist es weiter zur 0 als zur 30. Logischerweise ist der Funktionsgraph bei x=0 in diesem Intervall also am höchsten.
Wir bekommen also die maximale Fläche, wenn wir den Draht so lassen, wie er ist, und ihn zu einem Kreis formen.
Natürlich hätte man das auch ganz ohne Rechnerei wissen können, denn von allen ebenen Figuren hat der Kreis das optimale Verhältnis zwischen Umfang und Fläche. Etwas Besseres als einen Kreis zu formen, können wir mit dem Draht also gar nicht tun, wenn wir eine möglichst große Fläche brauchen.
Wenn ich Dir das aber einfach so gesagt hätte, hättest Du es möglicherweise nicht geglaubt. Nun hast Du es Schritt für Schritt berechnet.
Herzliche Grüße,
Willy
Da nicht nach einem maximalen, sondern nach einem extremen Wert gefragt wurde, ist x=16,8 cm natürlich auch eine gültige Antwort. Hier ist die Fläche nämlich extrem klein.
Hauptgleichung ist die Fläche aus Quadrat und Kreis
1.Ag=Aq +Ak=a^2+ r^2*pi hier sind a und r 2 Unbekannte
2. U=L= 4*a + 2*r *pi ergibt r= (L -4*a)/ (2*pi) ergibt r^2= (")^2/(4*pi^2)
in 1. Ag= a^2 + (")^2/(4 *pi^2) * pi = a^2 + (")^2/ 4 * pi
Hilfsvariable b= 1/(4 *pi)
Ag= a^2 + b * ( " )^2
( L - 4 * a) * (L - 4*a)=L^2 - 4 *L *a + 16 * a^2
Ag= a^2+ b *(L^2 - 4 * L * a + 16 *a^2)
Ag= a^2 + 16 * b *a^2 - 4* b * a + b * L^2
Ag=(1+b *16) * a^2 - 4 * b *a + b * L^2
dies ist eine Parabel der Form f(x)= a2 * x^2 + a1*x +ao
HINWEIS : (1+b *16) ist "posituv" und darum ist die Parabel nach oben offen und hat nur ein "Minimum". Ein Maximum gibt es nicht
abgeleitet A´(a)=0= 2 *(1+b*16) * a - 4 *b
Nullstelle bei a= (4*b)/(2*(1+b *16)
HINWEIS : Du kannst die Aufgabe mit ein paar Proberechnungen überprüfen. Setze willkürlich für a= 3 cm und 5 cm und 6 cm ein und notiere das Ergebnis.
U=L=30 cm = 4 *a + 2*r *pi mit a =4 cm
r= (30 - 4 *a)/2
Ich kann dir keine Details geben aber du kannst ja versuchen die Summen der möglichen Flächeninhalte in eine Funktion umzuwandeln und dann die extremstelle auszurechnen bzw. auszulesen
das eine Stück ist x und das andere 30-x
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Quadrat
4a = x → a = 1/4 x → A=(1/4 x)²
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Kreis
2pi r = 30-x → r = (30-x)/(2•pi) → A = pi • (30-x)/(2•pi)
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jetzt die beiden A addieren , Summe ableiten , = 0 usw