Extrempunkte einer Funktion die man mit der Kettenregel abgelitten hat?
Hallo,
ich habe hier die Ableitung einer Funktion: 2x/(1-x^2)^2 Ich muss ja die Ableitung = 0 setzen. Aber wie komme ich auf das x?
5 Antworten
Vom Ansatz her würde ich bei solchen Gleichungen erst einmal mit dem Nenner multiplizieren. Das führt i.A. auf eine "normale" Gleichung, zu deren Lösung Dir Methoden zur Verfügung stehen sollten.
Hier also:
2x/(1-x²)² = 0 | ·(1-x²)²
2x = 0
Hier musst Du aber beachten, dass Deine "Lösung" auch im Definitionsbereich Deiner Funktion liegt; vgl. Volens.
Daher auch die Regel: Ein Bruch kann nur dann den Wert 0 annehmen, wenn der Zähler 0 wird.
Bei Funktionen, in denen neben einem Bruch noch weitere Terme/Summanden vorkommen, macht dieses Vorgehen erst recht Sinn.
du hast also
2x/(1-x^2)^2 =0 zu lösen
wir nehmen an dass (1-x^2)^2 ungleich 0 ist.
(andernfalls können wir das nachfolgende nicht machen)
dann können wir beide seiten mit (1-x^2)^2 multiplizieren.
daraus folgt
2x=0
also x=0
jetzt überprüfen wir noch ob das nicht unserer annahme wieter oben widerspricht:
(1-x^2)^2=(1-0)^2=1 ist ungleich 0. Passt also
demnach ist x=0 die Lösung.
Wenn du einen Bruch hast, solltest du erst einmal prüfen, wo der Nenner 0 wird (oder eine negative Wurzel), denn dort hat die Funktion keinen Punkt. Meist macht man dies allerdings bereits am Anfang einer Kurvendiskussion.
Hier also: 1-x² prüfen!
1-x² = 0 | -1
-x² = -1 | /(-1)
x² = 1 ID= ℝ\ {-1; +1}
An den Stellen -1 und 1 ist die Funktion also nicht definiert.
Glück gehabt.
2x = 0
x = 0 An dieser Stelle existiert die Funktion.
Der Zähler reicht zur Betrachtung des Extremwerts aus folgendem Grund aus:
Die Bedingung ist f '(x) = 0
Also: (2x) /(1-x^2)² = 0 | *(1-x^2)²
2x = 0 | /2
x = 0
Es ist immer vorteilhaft, eine Gleichung so zu organisieren, dass auf einer Seite (am besten rechts) eine Null steht.
"abgelitten"
Naja, für manche scheint sowas wie Mathestunden wirklich eine Leidenszeit zu sein.
Ich habe dagegen z.B. etwa in Geschichte oder in anderen "auswendig-lern-Prüfungen" wesentlich mehr gelitten.
die Bedingung ist erfüllt, wenn der Zähler 0 ist (der Nenner darf nicht Null werden)
naja du hast ja einen Bruch und der ist immer Null, wenn der Zähler 0 ist... in dem Fall also 2x=0 --> x=0
"Kannst du bitte deinen Lösungsansatz zeigen?" Hat er doch gerade?! (Es heißt übrigens "abgeleitet").
In Worten musst du das x finden für das:
Zähler gleich 0 und
Nenner ungleich 0 ist.
Da komt dann sehr schnell x=0 als lösung raus.
Kannst du bitte deinen Lösungsansatz zeigen?