Frage von KemalTuncay28, 43

Extrempunkte einer Funktion die man mit der Kettenregel abgelitten hat?

Hallo,

ich habe hier die Ableitung einer Funktion: 2x/(1-x^2)^2 Ich muss ja die Ableitung = 0 setzen. Aber wie komme ich auf das x?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 15

Vom Ansatz her würde ich bei solchen Gleichungen erst einmal mit dem Nenner multiplizieren. Das führt i.A. auf eine "normale" Gleichung, zu deren Lösung Dir Methoden zur Verfügung stehen sollten.

Hier also:
2x/(1-x²)² = 0   | ·(1-x²)²
2x = 0

Hier musst Du aber beachten, dass Deine "Lösung" auch im Definitionsbereich Deiner Funktion liegt; vgl. Volens.

Daher auch die Regel: Ein Bruch kann nur dann den Wert 0 annehmen, wenn der Zähler 0 wird.

Bei Funktionen, in denen neben einem Bruch noch weitere Terme/Summanden vorkommen, macht dieses Vorgehen erst recht Sinn.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 14

Wenn du einen Bruch hast, solltest du erst einmal prüfen, wo der Nenner 0 wird (oder eine negative Wurzel), denn dort hat die Funktion keinen Punkt. Meist macht man dies allerdings bereits am Anfang einer Kurvendiskussion.

Hier also: 1-x² prüfen!
                 1-x² = 0      | -1
                    -x² = -1    | /(-1)
                     x² = 1                                ID= ℝ\ {-1; +1}

An den Stellen -1 und 1 ist die Funktion also nicht definiert.
Glück gehabt.

                  2x = 0
                    x = 0           An dieser Stelle existiert die Funktion.

Kommentar von Volens ,

Der Zähler reicht zur Betrachtung des Extremwerts aus folgendem Grund aus:
Die Bedingung ist f '(x) = 0

Also:     (2x) /(1-x^2)²  =  0    | *(1-x^2)²
               2x                =  0    | /2
                 x                =  0

Es ist immer vorteilhaft, eine Gleichung so zu organisieren, dass auf einer Seite (am besten rechts) eine Null steht.

Antwort
von Monsieurdekay, 27

die Bedingung ist erfüllt, wenn der Zähler 0 ist (der Nenner darf nicht Null werden)

Kommentar von KemalTuncay28 ,

Kannst du bitte deinen Lösungsansatz zeigen?

Kommentar von Monsieurdekay ,

naja du hast ja einen Bruch und der ist immer Null, wenn der Zähler 0 ist... in dem Fall also 2x=0 --> x=0 

Kommentar von JonIrenicus ,

"Kannst du bitte deinen Lösungsansatz zeigen?" Hat er doch gerade?! (Es heißt übrigens "abgeleitet").

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