Externe und Interne direkte Summe?
Hallo, könnte jemand mir vielleicht erklären, was externe und interne direkte Summe sind und was der Unterschied ist?
Ich weiß, dass man googeln kann. Habs auch gemacht, aber habe die Definition nicht so verstanden..
Danke im Voraus..
1 Antwort
Hallo,
der Unterschied besteht darin, dass die Ausgangssituationen und damit die Blickwinkel verschieden sind.
Im Fall der externen direkten Summe geht man von gegebenen Vektorräumen
V₁ , V₂ , ... , Vₙ , ... aus und bildet die formale Summe
(i∈I) ⊕Vᵢ := V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ Vₙ ⊕ ...
Man erhält so einen "großen" Vektorraum (i∈I) ⊕Vᵢ , der die "kleinen" Vektorräume
Vᵢ (i∈I) als Unterräume enthält.
Im Fall der internen direkten Summe sind ein "großer" Vektorraum V und "kleine" Untervektorräume Vᵢ ⊆ V gegeben, so dass man jeden Vektor v ∈ V als (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Summe v = v₁ + v₂ + ... + vₙ + ... mit vᵢ ∈ Vᵢ darstellen kann.
Man schreibt dann V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ Vₙ ⊕ ... und
v = v₁ ⊕ v₂ ⊕ ... ⊕ vₙ ⊕ ...
Die Summe hier wird innerhalb des "großen" Vektorraumes V gebildet, daher die Formulierung "innere direkte Summe". Im Fall der äußeren direkten Summe wird eine Summe "außerhalb" der Vektorräume Vᵢ definiert.
In beiden Fällen (sowohl innere als auch äußere direkte Summe) sind die direkten Summen durch die Forderung vᵢ = 0 für fast alle i∈I endlich. Das bedeutet, dass nur endlich viele vᵢ verschieden vom Nullvektor sind.
Ist es so etwas klarer?
Gruß
Ja auf jeden Fall, ich danke dir sehr herzlich für die ausführliche Erklärung. :)