Extempunkte in Abhängigkeit von Paramter?

Hallo, ich soll die Funktion f(x)=x^5 - 5kx^4, k€R auf Nullstellen und Extrempunkte untersuchen. Allerdings verstehe ich nicht, wie ich auf die Extrempunkte kommen soll und verstehe die Lösung nicht. Die wäre:

K=0 keine Extremstellen

K>0 H(0/0) T(4k/-256k^5)

K<0 H(4k/-256k^5) T(0/0)

Leider bekomme ich etwas total anderes raus.

Answer 1

[gauss58]

Bilde die ersten 5 Ableitungen und analysiere diese.

Die notwendige Bedingung für Extrema erfüllen x_E1 = 0 und x_E2 = 4k.

Schauen wir uns die hinreichende Bedingung für den Fall x_E1 = 0 an:

Die vierte Ableitung lautet f''''(0) = -120 k, das bedeutet Extremum für k ≠ 0 und die fünfte Ableitung lautet f'''''(0) = 120, das bedeutet für k = 0 liegt ein Sattelpunkt vor.

Denn es gilt, wenn die erste von Null verschiedene Ableitung für x_E gerade ist (hier: 4. Ableitung für k ≠ 0), handelt es sich um ein Extremum und wenn die erste von Null verschiedene Ableitung ungerade ist (hier: 5. Ableitung für k = 0), handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Schauen wir uns die hinreichende Bedingung für den Fall x_E1 = 4k an:

f''(4k) = 20 * (4k)² * (4k - 3k) = 20 * (4k)² * k

Für k > 0 haben wir ein Minimum und für k < 0 haben wir ein Maximum.