e^(-x) = x^2 nach x auflösen?
Wie kann man obige Gleichung nach x umstellen? Müsste doch eigentlich gehen, da die zwei Funktionen einen Schnittpunkt auf dem Graphen haben (x=0.7035...). Vielen Dank für die Umformungsschritte.
3 Antworten
Hallo,
das geht nur über Näherungsverfahren.
Es geht aber auch über die Lambertsche W-Funktion, die dummerweise auch nicht trivial zu lösen ist. Du bekommst aber zumindest auf jeden Fall alle Lösungen, wenn es mehrere gibt.
Du mußt die Gleichung in die Form y=u*e^u bringen, denn die Lambertsche W-Funktion ist dazu die Umkehrfunktion. Wenn Du y kennst, bekommst Du über die W-Funktion das u geliefert.
Die Umformung geht so:
e^(-x)=x² |*e^x
x²*e^x=1 | √
x*e^(1/2)=±1 |*(1/2)
(1/2)x*e^(1/2)=±1/2.
Substitution 1/2=u
u*e^u=±1/2.
Du gibst ±1/2 in die W-Funktion ein.
Für -1/2 ist sie nicht definiert.
W(1/2)=0,35173371 oder 0,1174765.
Diese beiden Werte sind die Lösungen für x/2.
Die Lösungen für x sind also das Doppelte, nämlich
x1=0,70346742, x2=0,234953.
x2 ist nur eine Scheinlösung, aber x1 paßt und ist somit die einzige Lösung der Gleichung
Herzliche Grüße,
Willy
Die Werte der W-Funktion bekommst Du über spezielle Computerprogramme wie zum Beispiel Wolfram Alpha.
Ich benutze das kostenlose Programm Mathematik alpha. Dort findet man es unter dem Menüpunkt Lexikon-Stichwortliste.
Nach Lambertsche W-Funktion suchen.
Du kannst es über Fixpunktiteration machen :
e ^ (- x) = x ^ 2 | √(...)
x = +√(e ^ (- x))
Das ist deine Fixpunktform.
Die andere Fixpunktform, die sich über den Logarithmus dem Auge aufdrängt, also
x = - ln(x ^ 2) = ln(1 / (x ^ 2)) konvergiert hier übrigens nicht.
x = - √(e ^ (- x)) konvergiert auch nicht.
Führt man nun die Iteration durch dann führt das zu
x = 0.7034674224983917...
https://www.youtube.com/results?search_query=fixed+point+iteration
Gar nicht. Dass es eine Lösung gibt, ist kein
Grund dafür, dass es eine analytische Lösung gibt.