E-Funktion: Gleichung der Tangente und Parameter bestimmen?
Hallo,
ich habe Probleme den Parameter zu berechnen könntet ihr mir helfen?
3 Antworten
Hallo,
die allgemeine Gleichung einer Tangente lautet y=mx+b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
Sie ist eindeutig durch m und b bestimmt.
Da es sich um zwei Unbekannte handelt, werden auch zwei Gleichungen benötigt.
Was macht eine Tangente an eine Kurve an einem bestimmten Punkt aus?
Zum einen hat sie mit der Kurve diesen Punkt gemeinsam, zum anderen hat sie an diesem Punkt die gleiche Steigung wie die Kurve.
In der vorliegenden Aufgabe kommt allerdings mit k eine dritte Unbekannte ins Spiel. Deswegen ist zusätzlich noch der Punkt (1|-3/2) angegeben, so daß nun drei Gleichungen erstellt werden können.
Da der Berührpunkt x0=0 sein soll, sollten zunächst einmal f(0) und f'(0) bestimmt werden:
f(x)=0,5*e^(-kx); f(0)=0,5*e^(-k*0)=0,5*e^0=0,5*1=0,5.
f'(x)=-0,5k*e^(-0,5kx); f'(0)=-0,5k.
-0,5k kann man nun für m einsetzen:
y=-0,5kx+b.
Da noch zwei Punkte übrig sind, nämlich (0|0,5) und (1|-1,5), lassen sich nun k und b durch zwei Gleichungen bestimmen, indem die Punkte in die Tangentengleichung eingesetzt werden.
-0,5k*0+b=0,5 führt direkt zu b=0,5.
-0,5k*1+0,5=-1,5 führt zu -0,5k=-2 und k=4.
Somit lautet die Tangentengleichung y=-2x+0,5.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke, dass hat mir echt weitergeholfen. Hab die Tangenten Gleichung zwar auch aufstellen können, aber ich wusste einfach nicht wie ich auf den Parameter k kommen sollte.
Schönen Abend dir noch!
Von der Tangente sind 2 Punkte bekannt. Der eindeutig angegebene bei (1|-3/2) und der gemeinsame mit f bei (0|f(0)). Somit kannst Du die Steigung der Tangente berechnen.
Und diese Steigung muss auch f bei x=0 haben, d. h. Du musst f'(0)=Steigung-Tangente setzen und das k ausrechnen.
f(0) = 0,5 => die Gerade geht also durch die Punkte (0 ; 0,5) und (1 ; -1,5 ).
Daraus ergibt sich die Steigung der Geraden. Diese soll mit der Steigung von f(x) an der Stelle x=0 übereinstimmen.