Die Summe zweier Zahlen ist 85 und ihre Differenz ist 35...Wie soll ich das Rechnerisch lösen?
Die Summe zweier Zahlen ist 85 und ihre Differenz ist 35...Wie soll ich das Rechnerisch lösen?
2 Antworten
Nenne die Zahlen x und y.
Die Summer der Zahlen ist 85, also x+y=85.
Die Differenz ist 35, also x-y=35.
Es ist also folgendes Gleichungssystem zu lösen:
I. x+y=85
II. x-y=35
Das löst du nun mit einem Verfahren deiner Wahl.
'Differenz' im Schulsinne, vor allem in den siebten/achten Klassen, in
welchen solche Aufgaben eingeführt werden, bedeutet eigentlich immer x-y, mit x>=y.
Ich habe hier stillschweigend einfach mal x>=y vorausgesetzt.
Mathematische Exaktheit finde ich immer problematisch, wenn der Fragesteller Probleme mit dem Stoff zu haben scheint. So wird eine exaktere Definition als die in der Schule vermittelte schnell zum Stolperstrick.
Zugunsten des Verständnisses lasse ich hier auf gf.net meist mathematisch präzise Defintionen weg und erkläre salopp, damit ich verstanden werde (außer natürlich bei tiefgreifenderen Fragen, welche eine gewisse mathematische Kompetenz des Fragestellers durchscheinen lassen).
Sage doch ist hier richtig so^^
Ist zwar fies, wenn man in der 8. Klasse eine Aufgabe stellt, wo genau das plötzlich entscheidend wird, aber kann vorkommen bzw schadet nicht das mal im Hinterkopf zu behalten, weil irgendwann wird sowas ganz sicher mal vorkommen^^
Hallo,
hat jemand von Euch eine Idee, wie man das kindgerecht einem 8-jährigen (3. Klasse VS) vermitteln kann? (.... ohne Berücksichtigung des Absolutbetrages der Differenz)
Danke Euch!
Zuerst würde ich erklären, dass die Einer-Stelle beim Ergebnis der Addition zweier zweistelliger Zahlen alleine von den Einer-Stellen der zu addierenden Zahlen abhängt.
Als Beispiel würde ich da 17+19 nennen. Das ergibt 36 und endet auf 6, weil die Addition der Einer-Stellen von 7 und 9 die Zahl 16 liefert und 16 auf 6 endet. Ähnlich endet 10+15=25 auf 5, weil 0+5=5 auf 5 endet.
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Mit der selben Argumentation müssen wegen der ersten Bedingung die Einer-Stellen bei der Addition eine Zahl liefern, die auf 5 endet. Die Summe der Einer-Stellen kann also nur 5 oder 15 sein. Erkläre vielleicht noch, wieso es nicht bspw. 25 sein könnte.
Nur Zahlenpaare der Formen
(X0, Y5), (X1, Y4), (X2, Y3), (X3, Y2), (X4, X1), (X5, Y0), (X6, Y9), (X7, Y8), (X8 , Y7), (X9, Y6)
erfüllen diese erste Bedingung.
X und Y stehen für die jeweiligen Zehner-Stellen der beiden Zahlen. Beim Erklären würde ich da jetzt nicht zwingend X und Y hinschreiben, weil Grundschüler wahrscheinlich eher weniger mit abstrakten Platzhaltern anfangen können. Lass da einfach Lücken, das macht dann auch klar, dass es nur auf die Einer-Stellen ankommt.
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Die zweite Bedingung liefert dann, dass die Differenz der beiden Einerstellen ebenfalls auf 5 enden muss.
Nur Zahlenpaare der Formen
(X0, Y5), (X1, Y6), (X2, Y7), (X3, Y8), (X4, Y9), (X5, Y0), (X6, Y1), (X7, Y2), (X8, Y3), (X9, Y4)
erfüllen diese zweite Bedingung.
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Die einzige Paarform, die in beiden Ketten vorkommt, ist (X0, Y5). Die größere Zahl muss also auf 0 enden, die kleinere auf 5. Zudem weiß man durch die zweite Bedingung, dass die größere Zahl mindestens 35 ist. Also ist die größere Zahl entweder 40, 50, 60, 70 oder 80.
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Dann stellt man alle Paare auf, die die erste Bedingung erfüllen und bei denen die größere Zahl eine der oben genannten ist. Das wären die Paare
(40, 45), (50, 35), (60, 25), (70, 15), (80, 5).
Das erste Paar lässt sich ausschließen, weil die erste Zahl größer als die zweite sein muss (siehe zweite Bedingung). Also muss man nur für vier Paare überprüfen, welches davon beide Bedingungen erfüllt.
Danke schön, das kling sehr einleuchtend - hoffentlich auch für meinen Sohn - wenngleich der ausgesparte Platz für die Antwort am Angabezettel im Vergleich hierzu sehr eng bemessen wirkt.
Ich werde es heute Abend mit ihm erarbeiten.
Wir haben das folgendermaßen gelöst:
Bsp: 2 Zahlen, deren Summe = A, deren Diff = B
Wir haben die Summe zuerst halbiert und dann die Differenz (anti)symmetrisch aufgeteilt:
Basis: x+x = A, mit x = A/2
(1): x-B/2 + x+B/2 = A
x1 = A/2 - B/2
x2 = A/2 + B/2
A + B = 85
A - B = 35
Die 2 Gleichungen adieren, dann Kommt
2A = 120
Jetzt kannst du selbst weiter rechnen.
B = 25
Hier ist das richtig so.
Allgemein muss man wissen, dass Differenz zwischen zwei Zahlen x und y sowohl x-y, als auch y-x heissen kann. Möglich ist auch Betrag von x-y also |x-y|
Je nach Aufgabe muss man dann genauer hinsehen und argumentieren wieso man das so oder so macht.
Mag das einfach nur ergänzt haben^^