Die Nullstellen einer Gleichung müssen alle den gleichen Abstand zu einander haben? Wie geht man vor?
Hallo,
ich bearbeite gerade ein Übungsblatt als Vorbereitung auf meine Klausur und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich einfach nicht gelöst bekomme... Ich verstehe die Lösung des Dozenten nicht und mein eigener Ansatz scheint mir zu schwer und vermutlich nicht mal zielführend. Vielleicht kann mir jemand helfen.
3 Antworten
Wo haperts genau?
Also zunächst ist die Funktion gerade, wie beschrieben. Also ist wenn x eine Lösung ist auch -x eine Lösung (logisch, da ja das Quadrieren das minus negiert).
Also reichen zwei verschiedene Nullstellen aus, da wir dann ja 4 insgesamt haben. Wie du die jetzt wählst ist erst mal egal. Du kannst z.B. auch 1/2 a und 3/2 a wählen. Dann sind -1/2a und -3/2a die anderen Nullstellen und alle benachbarten haben einen Abstand von a. Allerdings ist es für das weitere Fortfahren natürlich schön keine Brüche sondern ganze Zahlen zu haben. Daher bietet sich a und 3a an, sodass man mit -a und -3a immer einen Abstand von zwei bei benachbarten NS hat.
(Dieser ist dann ja 2a)
Anschließend wird nur aufgelöst. Du weißt dass du durch die vier Nullstellen die Funktion in ihre Linearfaktoren zerlegen kannst. Also gilt
Und ebenso gilt natürlich deine Gleichung vom Start. Die setzt du nun mit der hier oben gleich und multiplizierst aus bis du einen Koeffizientenvergleich machen kannst.
(Da kommt dann das mit "3y+2=10a^2" usw. raus)
Dann nur noch auflösen.
Grüße
Das ist eigentlich gar nicht mal so schwierig.
Als erstes muss man sich die Funktion mal genau anschauen und allleine daraus gewisse Eigenschaften ableiten. Da x nur mit geraden Potenzen vorkommmt (x^2, x^4), kann man alleine daraus schon mal schließen, dass der Graph der Funktion nach oben offen ist und außerden symetrisch zur y-Achse sein muss, denn √x^2 hat als Lösung immer ± x.
Nun legen wir die erste Nullstelle beliebig, aber bequem, bei x = a fest. Dann ergibt sich zwangsläufig, dass auch bei -a eine Nullstelle liegt. Der Abstand zwischen beiden beträgt damit 2a. Um diesen Abstand müssen wir nun nach außen gehen und a + 2a ergibt 3a. Also liegt auch da eine Nullstellle und damit zwangsläufig auch bei -3a. Jetzt haben wir die 4 Nullstellen festgelegt und stellen eine Gleichung in der Nullstellenform auf. Diese Gleichung hat genau dann die gewählten 4 Nullstellen, wenn gilt:
0 = (x + 3a)(x + a)(x - 3a)(x - a)
Nun setzen wir 0 = 0, also Ursprungsgleichung = Nullstellenform und lösen nach y auf. Es muss wegen der Achsensymetrie genau zwei y als Lösung geben, denn y(a) = y(-a) bzw. y(3a) = y(-3a)
Der Rest ist reine Rechnerei. Ungewöhnlich ist höchstens, dass ausnahmsweise mal nicht nach x, sondern nach y als Lösung gesucht wird.
Schon deine Zeichnung ist falsch. Du hast ja keine Funktionsgleichung gegeben sondern eine Relationsgleichung. Setze zuerst y auf 0 und berechne damit die x, die zu Null führen, dann setze x auf Null und berechne daraus die y, die auf Null führen.
Also erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort! :) Tatsächlich war ich verwirrt durch dieses x quer und die Tatsache, dass ich übersehen habe, dass der Abstand zwischen 3a und a 2 ist und nicht 3...
Weiterhin war mir das mit der Nullstellenform nicht mehr klar, aber jetzt wo mir das ganze wieder klar wird und in Erinnerung gerufen wird, macht die Lösung auch wieder Sinn! Also vielen Dank!