Der Vektor a verschiebt den punkt P in den Punkt Q. Wie geht das?
Also folgende Aufgabe habe ich in Mathe auf:
Der Vektor a (-1/2/-3) verschiebt den Punkt P in den Punkt Q. Bestimmen Sie P bzw. Q.
a) P(3/2/1)
Muss ich einfach Pa rechnen oder wie bekomme ich Q heraus?
Bin dankbar für jede Hilfe.
LG
6 Antworten
Ein Vektor gibt eine Verschiebung an. Möchte ich zum Beispiel (im Zweidimensionalen) einen Punkt um 2 nach rechts und 3 nach oben verschieben, addiere ich den Vektor (2 / 3) (genau genommen müssen Ortsvektor des Punktes und Verschiebevektor addiert werden). Genauso funktioniert es auch mit dreidimensionalen Vektoren.
Das heißt:
Nicht zu übersehen ist die Schreibweise, deswegen habe ich Dir die Gleichung hingeschrieben: Die Pfeile über den Buchstaben (erst das sind tatsächlich Vektoren) sind wichtig, denn einen Punkt (wie P ohne Pfeil) und einen Vektor (hier a) kannst Du nicht addieren. Du benötigst den Ortsvektor des Punktes (was im Prinzip aber auch einfach der Punkt ist - nur übereinander geschrieben).
LG
Hallo hshcjwbcj,
es ist zugegebenermaßen etwas verwirrend, dass man hier einen Vektor zu einem Punkt addieren soll.
Nun lässt sich aber ein Punkt X(x|y|z) mit einem Vektor x›=(x;y;z) identifizieren, nämlich, wenn man x› als Verschiebung von einem Referenzpunkt O(0|0|0) auffasst, den Ortsvektor von X (wenn man das ganz genau nimmt, ist das nur ein bestimmter Repräsentant von x›).
Und Vektoren lassen sich problemlos addieren, nämlich komponentenweise. So ergibt sich der Ortsvektor von Q zu
q› = p› + a› = (3–1; 2+2; 1–3) = (2;4;–2).
Also ist natürlich Q(2|4|–2).
Alles, was jetzt kommt, ist Ausblick auf das, was später noch kommt.
ProdukteMuss ich einfach Pa rechnen oder wie bekomme ich Q heraus?
Mir ist nicht klar, was Du mit 'Pa' meinst. Es sieht aus wie ein Produkt irgendeiner Art.
Für Vektoren ist im Allgemeinen das Produkt mit einer Zahl definiert; was wieder einen Vektor ergibt, z.B.
2·p› = (6; 4; 2).
Ist die Zahl negativ, zeigt der neue Vektor in entgegengesetzte Richtung.
Außerdem gibt es das Skalarprodukt, üblicherweise auch mit '·' geschrieben. Ich bevorzuge die Schreibweise z.B.
‹p,a› = 3·(-1) + 2·2 + 1·(-3) = –2.
Am Minuszeichen kann ich ablesen, dass p› und a› einen Winkel über 90° bzw ½π bilden.
Daneben gibt es das Kreuzprodukt
p› × a› = (2·(-3)–1·2; 1·(-1)–3·(-3); 3·2–2·(-1)) = (-8; 8; 8) =: b›.
Der steht senkrecht auf p› und a›:
‹p,b› = 3·(-8) + 2·8 + 1·8 = 0
‹a,b› = -1·(-8) + 2·8 + (-3)·8 = 0
(gut, dass ich diesen Test gemacht habe, so habe ich den Rechenfehler rechtzeitig gefunden).
Wenn man…
…Vektoren als Matrizen……auffasst, kann man Vektoren so multiplizieren wie Matrizen. Man geht mit der linken Hand von links nach links und mit der rechten von oben nach unten; aus was man zeigt, wird multipliziert und die Produkte addiert. So ist p› ein Spaltenvektor; das Semikolon ist in diesem Sinne als Zeilenwechsel aufzufassen, also
(3
2 ^= (3; 2; 1).
1),
während ein Vektor, dessen Komponenten mit Komma getrennt sind, ein Zeilenvektor
‹p = (3, 2, 1)
ist. Also ist ‹p,a› als
(3,2,1)·(-1 = -2
2
-3)
aufzufassen, während p›‹a als Matrix
(3 · (-1; 2; -3) = (-3, 6, -9;
2 -2, 4, 6;
1) -1, 2, -3)
aufzufassen ist, das sog.Dyadische Produkt.
Ein Vektor ist praktisch ne Antwort auf die Frage:
Wie komme ich von A nach B?
Oder in deinem Fall: von P nach Q?
Starte im Punkt P. Und gehe dann den Vektor a.
Für jede Koordinate (x,y,z oder x1/x2/x3) getrennt.
Wenn du bei 3 startest und -1 gehst... Wo könntest du dann ankommen?
Usw.
Liebe Grüße,
Tanja
Nicht ganz zufällig ist es so, dass bei Verschiebung eines Punkts dasselbe Ergebnis herauskommt, als wenn du jede Dimnesion extra schiebst, was gleichbedeutend ist mit:
du addierst einfach die Zeilenwerte.
P + a = Q
3 -1 2
2 2 4
1 -3 -1
Warum man dort richtig landet, hast du mal in 2
Dimensionen mit dem Steigungsdreieck geübt.
Ist Q gegeben und du sollst bestimmen, woher die Schiebung kommt, musst du natürlich subtrahieren, um P zu errechnen. Achte dabei auf
-(-1) = +1 etc.
a nimmt einfach den Punkt P und schiebt ihn einfahc woanders hin, nämlich zur Position Q! ;-D
ne, im Ernst:
Addier einfach a und P, kommt schon Q raus.
Also + statt mal :-)