Datingshow Match-Wahrscheinlichkeit (Are You The One)?
Hallo an alle Hobby-Stochastiker unter euch :)
Ich rätsele jetzt schon seit mehreren Tagen an einer Frage herum, die ich mir nach der Realityshow "Are you the one" gestellt habe. Für alle, die sie nicht kennen, es handelt sich um eine Datingshow, bei der 10 Männer und 10 Frauen durch Tests ein perfektes Match vom anderen Geschlecht zugeordnet bekommen haben. Sie wissen jedoch nicht, wer der 10 Männer bzw. Frauen dieses perfekte Match ist und genau dies gilt es herauszufinden. Jede Woche tun sie sich zusammen und kreieren 10 Paare, wobei ihnen dann mitgeteilt wird, wieviele richtige Matches es gibt, jedoch nicht, welche diese sind.
Meine Frage wäre nun, wie sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass in der ersten Runde genau ein (bzw. zwei, drei etc.) perfekte Matches dabei sind? Meine Gedankengänge haben ergeben, dass die Wahrscheinlichkeit P("eine Person findet ihr perfektes Match") = 1/10 ist, aber wie kommt man nun auf die Wahrscheinlichkeit P("genau ein perfektes Match von 10 Matches") etc.?
Ich bin für jede Hilfe dankbar, da mich das wirklich irre macht, nicht weiterzukommen :D
2 Antworten
Du suchst die Anzahl Permutationen einer 10-elementigen Menge mit k Fixpunkten (k= 1, 2, 3, ...). Ein "Fixpunkt" ist, wenn man die Paare passend beisammen hat, dann z.B. die Damen "permutiert" und danach wieder eine Dame beim passenden Herrn landet.
Wenn k gegeben ist, dann gibt es (10 über k) Möglichkeiten, die k Fixpunkte zu wählen (Binomialkoeffizient). Die verbleibenden 10-k müssen fixpunktfrei permutiert werden. Die Anzahl fixpunktfreier Permutationen wird durch die Subfakultät beschrieben https://de.wikipedia.org/wiki/Subfakult%C3%A4t).
Die Anzahl Permutationen mit k Fixpunkten ist also (10 über k) mal Subfakultät von (10-k). Die Wahrscheinlichkeit erhält man durch Division durch 10!, was die Anzahl aller Permutationen einer 10-elementigen Menge ist.
Beispiel k=1:
(10 über 1) = 10
Subfakultät(9) = !9 = 133'496
Wahrscheinlichkeit 10 * 133'496 / 3'628'800 = 0.37
Danke an eterneladam.
Aber die Formel geht so nicht immer. Wie bestimmen wir denn die Wahrscheinlichkeit für k=9, also dass sich genau 9 Paare finden? Nach der von dir vorgeschlagenen Formel kommt hier 0 raus, da im Zähler die Subfakultät von 10-9 = 1 steht und die Subfakultät von 1 null ist. Folglich ergibt sich P(k=9)=0, was aber ja nicht stimmt. Wir kennen ja P(k=10)= 1 / 10! und P(k=9) sollte auf jeden Fall größer sein.
P(k=9) ist tatsächlich 0, da es unmöglich ist, dass sich genau 9 Paare finden. Denn das eine nicht-passende Paar braucht ja andere Partner, die unter den anderen Paaren sein müssen. Wenn jene aber alle passen, ist dies nicht mehr möglich. LG