Darf ich ohne Probleme im laufenden Betrieb des PCs eine interne HDD Festplatte anschließen?

Wenn du einen Hot-Swap fähigen Anschluss im PC hast, dann ist das möglich ohne Teile des Rechners zu beschädigen.

Das erkennst du daran, dass deine Festplatten bei "Hardware sicher entfernen" in Windows auftauchen. Tun sie das nicht, dann ist dein SATA-Controller nicht Hot-Swap-fähig und dann solltest du es tunlichst lassen.

Prinzipiell unterstützt das SATA im AHCI-Modus. Würde aber dennoch mal schauen, was das Handbuch deines Mainboards dazu hergibt. Einfach so machen würde ich das nicht. Bei meinen Mainboard kann man im Bios extra für jeden SATA-Port Hot-Plug aktivieren.

bei SATA geht das glaub, ist Plug and Play oder Hot-Plug fähig.

Bei E-IDE weiß ich nicht

Eine andere geniale Lösung ist, für jede eingebaute Platte einen Kippschalter einzubauen, der die rote und gelbe Leitung der Stromversorgung vor dem Molex Stecker der Platte unterbricht.
In die Kunststoffblende sind rasch 2-4 Stück 7mm Löcher gebohrt, die Kippschalter kosten bei Reichelt keine zwei Euros.

Im ausgeschalteten Zustand eine der Platten zuschalten, dann den Rechner einschalten. So kannst du mehrere Betriebssysteme auf einem PC halten die garantiert keine Wechselwirkungen aufweisen oder Dualboot benötigen.
Zum Wechsel des OS fahre ich den Rechner runter, wähle eine andere Platte und schalte erneut ein.

Da mein Mainboard 6 SATA Stecker hat und bei jedem Altrechner eine HD übrig bleibt, bietet sich die Variante schon an für kreative Betriebssystemvarianten (Mint, Ubunru Suse, Deepin - Windows eher selten, da nutzerunfreundlich).

Per Spezifikation erlaubt der SATA Anschluss Hot Plugging, also das ein und ausstecken im laufenden Betrieb.

Endanwender Mainboards können das aber häufig trotzdem nicht. Da geht zwar nix kaputt wenn du es versuchst aber möglicherweise wird die Platte erst nach einem Neustart erkannt. Ggf gibt's in deinem BIOS eine Option um SATA hotplug zu aktivieren.