Brunnentiefe berechnen - richtig?
Hallo,
ich habe ein kleines Problem bei einer Physik aufgabe. Die aufgabe lautet:
Wenn man einen Stein in einner Brunnen wirft und ihn nach 11 Sekunden aufschlagen hört, wie tief ist der Brunnen?
Gegeben ist die Schallgeschw. von 320m/s und halt die Erdbeschleunigung von 9,81 m/s²
Meine Idee wäre gewesen, sich die Formel für den Fallweg und für den Schall rauszusuchen(also Formel für den Fall-Weg des steins (hier kurz Falls) und die Formel für die Strecke des Schalls, der zurück gelegt wird(kurz Schalls))
und dann gleich zu setzten:
Falls = Schalls
Als nächsten Schritt würde ich die Formel dann ich eine quadratische Gleichung umrechnen und diese dann Lösen. Als Lösung müsste ich dann doch die Fallzeit vom Stein rausbekommen, oder?
(Stimmt meine "Rechnung" so oder habe ich irgendwo einen denkfehler? ) Danke schonmal für die hilfe
4 Antworten
Das wäre so nicht falsch, aber auch nicht wirklich sinnig vom Rechenweg her.
zunächst einmal weißt du ja, dass der Stein die Zeit t braucht um die Strecke h zurückzulegen. h = 0,5gt² => Wurzel(2h/g) = t
Die Gesamtzeit T ist die Zeit, bis du den Stein hörst.
Somit ist t + die Zeit die der Schall (Schallgeschwindigkeit ist jetzt hier v) zu dir braucht = T.
Anders ausgedrückt: t + h/v = T => t = T - h/v
Jetzt setzen wir T - h/v einfach in das t unserer Formel h = 0,5gt² ein.
h = 0,5g(T - h/v)²
h = 0,5g(T² - 2hT/v +h²/v²)
Wenn du das jetzt alles ganz sauber aufschreibst, siehst du, dass du nichts anderes erhältst, als eine Quadratische Gleichung, deren Nullstellen du bekanntlich nach dem normieren mit der pq-Formel auflösen kannst.
h = 0,5gT² - (gT/v)h +(0,5g/v²)h²
0 = (0,5g/v²)h² - (gT/v)h + 0,5gT² - h
(Jetzt hast du ein mal gT/v und ein mal (-1) mal dein h, weswegen man am Ende (gT/v - 1)h erhält.)
0 = (0,5g/v²)h² - (gT/v + 1)h + 0,5gT²
Jetzt müssen wir die Gleichung noch normieren, also alles durch 0,5g/v² teilen, damit wir die pq-Formel anwenden können, und erhalten
0 = h² - 2v²(gT/v + 1)h/g + (vT)²
0 = h² - 2(vT + v²/g) + (vT)²
p = -2(vT + v²/g) und q = (vT)²
h_1,2 = (vT + v²/g) +/- Wurzel((vT + v²/g)² - (vT)²)
Alle Werte auf der rechten Seite sind bekannt, weswegen du jetzt wunderbar deine Brunnentiefe ausrechnen kannst! :)
(Natürlich nur die POSITIVE Lösung benutzen!!!)
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Noch eine Anmerkung zur Aufgabe an sich:
Eigentlich macht sie so keinen Sinn mehr, da der Brunnen ja doch sehr tief ist.
Wegen der großen Tiefe wird der Stein immer schneller, weswegen durch die zunehmende Fallgeschwindigkeit des Steins auch der Luftwiderstand wächst, wodurch die Beschleunigung des Steines immer kleiner wird, und der Stein am ende gar nicht mehr beschleunigt, sprich mit konstanter Geschwindigkeit zu boden fällt!
Das Empire State Building war das erste Gebäude, das hoch genug war, um genau diesen Effekt zu erzielen, würfe man etwas davon herunter (was natürlich komplett untersagt ist!!!).
Und da dein Brunnen noch tiefer ist als das ESB, ist es selbstredend, dass der Stein am Ende gar nicht mehr beschleunigt, weswegen du auch die Formel 0,5gt² nicht anwenden darfst, da diese nur für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen gilt.
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob ich die Formeln richtig "verstanden" habe...
kommt als Ergebniss ~ 451 raus?
Fallzeit t₁ = √(2h/g) , Schallzeit t₂ = h/c , Gesamtzeit t₁ + t₂ = T = 11s →
t₁ = T - t₂ → t₁² = T² - 2Tt₂ + t₂² → 2h/g = T² - 2Th/c + h²/c² →
2hc²/g = T²c² - 2hTc + h² → h² - 2hc(T + c/g) + c²T² = 0 .
Jetzt Zahlen einsetzen und p-q-Formel anwenden.
Nein das stimmt nicht mit der quadratischen Gleichung, denn die Fallzeit ist wesentlich grösser als die Rücklaufzeit des Schall.
> und dann gleich zu setzten
Wieso denn das? Wie kommst Du auf die Idee, der Stein brauche zum Fallen genauso lang wie der Schall zum Steigen?
Der Stein fällt knapp 500 m tief in knapp 10 Sekunden, anschließend braucht der Schall noch gut eine Sekunde bis an Dein Ohr.
Sorry, ich hab mich vertan!
Du musst natürlich die kleinere der beiden Lösungen nehmen. (Ich bin einfach davon ausgegangen, dass die kleinere der beiden Lösungen negativ sei, ohne es zu überprüfen... sorry!)