Bestandskurve/Wachstumsrate?
Eine Bevölkerung entwickelt sich nach der Bestandskurve B(t) = 5×e^0.002t [mit t in Jahren, B(t) in Millionen).
a) Berechnen Sie das durchschnittliche Wachstum in den ersten 4 Jahren.
Ich vermute ich muss ein Integral mit OB 4 und UG 0 bilden und dann das Ergebnis durch 4 teilen, um das Durchschnittliche Wachstum innerhalb der ersten 4 Jahren zu errechnen
Wenn ich falsch liege könnte mir jemand gegebenenfalls erklären was die Bestandskurve besagt.
b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem sich die Bevölkerung verdreifacht hat. Benutzen Sie hierbei nicht die solve-Taste, sondern rechnen Sie händisch.
Mein Ansatz: t=0 B(t)= 5 und dann 15 = 5 x e^0.02 t mit ln ausrechnen um den t Wert raus zu bekommen
c) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Bevölkerung nach 2 Jahren.
Ich würde B(t) ableiten (B'(t)) und dann die Steigeigung am Punkt t=2 auszurechnen. Oder muss ich da es sich um eine Bestandskurve handelt ein Integral bilden von OB 2 und UG 0 und B'(t) einsetzten?
d) Um eine Prognose für den Bestand der Bevölkerung nach 20 Jahren zu bekommen, wird die Tangente an B(t) im Punkt P(10/B(10)) benötigt. Berechnen Sie diese Tangente und ermitteln Sie die prozentuale Abweichung der Prognose nach 20 Jahren in Bezug auf den realen Wert B(20).
Hier bin ich leider komplett überfragt 😅
1 Antwort
a) Dein Ansatz wäre richtig, wenn du eine Funktion gegeben hättest, die dir das Wachstum über die Zeit angibt. So ist es aber einfacher. Rechne einfach (B(4) - B(0)) / 4.
b) passt. Vor dem ln musst du noch auf beiden Seiten durch 5 teilen, aber ich denke, das weißt du.
c) Die Ableitung sagt dir die Wachstumsrate zu jedem Zeitpunkt. Insofern passt dein erster Ansatz.
d) Rechne erst einmal B(10) durch einsetzen aus. Dann guck dir noch mal die Ableitung aus c) an und rechne B'(10) durch einsetzen aus. Die Tangente ist eine lineare Funktion (y=m*x+b). Die Steigung m muss B'(10) entsprechen, denn sonst ist es keine Tangente. Jetzt musst du noch b bestimmen, sodass gilt B(10) = B'(10)*10+b. Sieht kompliziert aus, aber ich habe nur das y durch B(10), das m durch B'(10) und das x durch 10 ersetzt, sodass die Gerade auch die Funktion bei x = 10 berührt. Wenn du nun deine Geradengleichung hast, kannst du für x 20 einsetzen und hast die Prognose.