Binomische Formeln?
Hallo,
- Frage: Man brauch die doch nur, wenn in der Klammer eine Variable steht. Oder?
- Muss man nicht eigentlich erst die Zahlen in der Klammer verrechnen, bevor man sie quadriert? Müsste man also nicht statt (a+b)^2 = (a+b)*(a+b) das hier schreiben: (a+b)^2 = (ab)^2?
LG Code Snake
3 Antworten
Zu 2.
Nein, die zweite Gleichung ist falsch.
(a + b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2
Zu 1.
Nein, das geht auch mit Zahlen (Konstanten).
Aber das geht dann auch deutlich einfacher:
Statt (3 + 5)^2 = 3^2 + 2*3*5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64 auszurechnen, kann man ja gleich
(3 + 5)^2 = 8^2 = 64 rechnen.
- Im Allgemeinen ja, denn konkrete Zahlen kann man ja einfach zuerst addieren und diese Summe dann quadrieren. Aber es kann bestimmt auch Gründe geben, das auf Zahlen anzuwenden.
- Der erste Satz ist inhaltlich richtig, aber deine Schlussfolgerung daraus ist völlig falsch.
(ab) = (a*b) nicht (a+b)
Bei (a+b)*(a+b) muss man doch immer noch zuerst die Terme in den Klammern ausrechnen, bevor man die Ergemnisse multiplizieren.
Ad 1) Nein. Binomische Formel eignen sich zB für Überschlagsrechnen im Kopf und andere Rechentricks.
Beispiel 1: Abschätzen von großen Quadraten.
Kannst Du 708² im Kopf ausrechnen? Kann man mit der ersten binomische Formel gut abschätzen:
708² = (700+8)² =...
Als erste Abschätzung rechne ich das erste Glied a² = 700*700 = 49.000
Dann 2ab = 2*700*8 = 11.200
Das Ergebnis liegt also bei etwas über 60.000.
Solche Kopfrechübungen müssen nicht genau sein, sind aber extrem hilfreich, wenn man die Gültigkeit eines Taschenrechner-Ergebnisses prüfen will.
Beispiel 2: Wie viel ist zB 32*48.
Mit etwas Übung sieht man hier sofort eine versteckte 3. binomische Formel:
32*42 = (40-8) * (40+8) = 40² - 8² = 1600 - 64 = 1536
Ad 2) Natürlich ist bei einfachem Aufgaben wie (5-2)² die Auflösung der Klammer einfacher.
Die "Schönheit" der binomischen Formeln erschließt sich bei größeren Zahlen oder der Anwendung rückwärts (zB bei der quadratischen Ergänzung).
Und übrigens ist a+b ≠ ab.