Binomialverteilung, kann mir jemand helfen bitte?
2 Antworten
Hallo,
die Binomialverteilung kannst Du bei Versuchen anwenden, bei denen es nur zwei Ausgänge gibt, die sich gegenseitig ausschließen. Außerdem muß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Ereignis A oder Ereignis B eintrifft, bei jeder Wiederholung des Versuchs immer gleich bleiben. Das klassische Beispiel ist der Wurf einer Münze: Entweder zeigt sie nach dem Wurf Kopf (Wappen) oder Zahl.
Hierbei werden die Möglichkeiten, daß sie auf dem Rand liegenbleibt oder in einem plötzlich auftretenden schwarzen Loch verschwindet, von vornherein ausgeschlossen.
Um zu berechnen, wie oft bei n Münzwürfen k mal das erwünschte Ereignis eintrifft (etwa das Werfen der Zahl), nimmt man die sogenannte Bernoullikette:
P(k)=(n über k)*k^p*(n-k)^(1-p).
p ist hierbei die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses. Bei dem Münzenexperiment liegt die Wahrscheinlichkeit für das Werfen der Zahl immer gleichbleibend bei 0,5, wenn die Münze nicht manipuliert wurde.
n ist die Anzahl der Münzwürfe in der Versuchsreihe (nehmen wir mal n=10), k ist die Anzahl für das Werfen der Zahl, sei k hier mal 3. 1-p ist die Gegenwahrscheinlichkeit, hier also Kopf, die hier gleich der Wahrscheinlichkeit für Zahl ist, also auch 0,5. 1-p wird manchmal auch q genannt.
n über k ist der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten nennt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt. Hier also 10 über 3 gleich
10!/[3!*(10-3)!]=120.
Wenn Du zehnmal eine Münze wirfst, hast Du mit einer Wahrscheinlichkeit von
120*0,5^3*0,5^7=0,1172 oder 11,72 % genau dreimal die Zahl dabei.
Der Binomialkoeffizient 120 ist deswegen wichtig, weil es bei der Versuchsreihe egal ist, bei welchen der 10 Würfe die drei Zahlen fallen. Sie können sich auf 120 unterschiedliche Arten auf die zehn Würfe aufteilen, so daß es 120 unterschiedliche Chancen auf die drei Zahlen gibt. Würdest Du die 120 weglassen, hättest Du nur die Möglichkeit berechnet, daß die drei Zahlen entweder bei den ersten drei Würfen fallen oder bei den drei letzten, oder bei den Würfen Nr. 2, 5 und 9 etc., also nur die Wahrscheinlichkeit für eine einziger dieser 120 Kombinationen.
Dieses Beispiel kannst Du nun auf ähnliche Fragestellungen anwenden. Die Formel für die Bernoullikette bleibt immer gleich, nur die Zahlen ändern sich. Mußt Du berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei mal Zahl unter den zehn Würfen ist, müßtest Du entweder die Wahrscheinlichkeiten für k=3 bis k=10 einzeln berechnen und anschließend addieren oder die Wahrscheinlichkeit für die unerwünschten Ereignisse k=0 bis k=2 von 1 abziehen, weil die Gesamtwahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ereignis (immer 1) abzüglich der unerwünschten Ereignisse die Wahrscheinlichkeit für die erwünschten Ereignisse ist, falls sich Ereignis und Gegenereignis gegenseitig ausschließen, was bei der Binomialverteilung wie oben geschrieben zu den Voraussetzungen gehört.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Wahrscheinlichkeit, überhaupt nicht fündig zu werden, muß unter 1 %=0,01 sinken. Du rechnest also 0,99^n<0,01 und löst über den Logarithmus nach n auf.
Anschließend auf ganze Zahlen runden. Hier ist n=459.
Ich gehe mal davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten ohne entsprechende Taschenrechner-Funktion berechnet werden sollen!
Bei einer Binomialverteilung (bedeutet, es gibt nur 2 mögliche Ergebnisse [Erfolg/kein Erfolg]) ist die Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu erzielen: P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k).
Bei a) ist nach "mindestens 1 Erfolg" bei 50 Versuchen gefragt, d. h. für k kommen die Werte 1-50 in Frage, also P(X≥1). Statt nun alle Wahrscheinlichkeiten von k=1 bis k=50 durchzurechnen und zu addieren, nutzt man natürlich clevererweise das Gegenereignis zu "mindestens 1 Treffer", nämlich "kein Treffer", d. h. Du rechnest P(X=0) aus und ziehst das von 1 (=100%) ab, d. h. P(X≥1)=1-P(X=0) (mit n=50 und p=0,01).
Bei b) ist nach P(X≥5) gefragt mit n=200. Hier rechnest Du "maximal 4 Erfolge" aus und ziehst das von 1 ab, also P(X≥5)=1-P(X≤4). Hier bleibt (ohne fähiger/erlaubter TR-Funktion) nichts anderes übrig, als die Wahrscheinlichkeiten von k=0 bis k=4 auszurechnen zu addieren (sind ja nur 5 Rechnungen) und von 1 abzuziehen.
c) hier ist nach P(X≥1)≥0,99 gefragt. D. h. das Gegenereignis "kein Erfolg" muss unter 1% liegen, also P(X=0)<0,01. Jetzt setzt Du links die Formel ein mit k=0 und p=0,01 und Du wirst recht leicht das gesuchte n ausrechnen können.
Danke erst mal !
Ich hab bei der a einfach P(x=50) (50über1) * 0,01^1 * (1-0,01)^50-1= 0,31
ist das falsch ?
Ja, in "doppelter Hinsicht": erst einmal rechnest Du mit P(X=50) aus, bei 50 Versuchen genau 50 Erfolge zu erzielen.
Und dann hast Du die Werte falsch eingesetzt: bei P(X=50) ist k=50, nicht 1! D. h. richtig eingesetzt wäre das: (50 über 50)*0,01⁵⁰*0,99⁰=0,01⁵⁰, also quasi 0%. Ist ja "logisch": wenn der Erfolg bei 0,01, also 1% liegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit 50mal hintereinander Erfolg zu haben "kleiner als mini"...
Und was wenn ich für k=1 berechne, dann Verbrechen ich nur den Wert genau einen weil zu haben von den 50 Bohrungen oder?
Ja, wie ich im zweiten Absatz meiner Antwort schon geschrieben habe (und nochmal in meinem ersten Kommentar): mit P(X=k) berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge!!!
Ich kann die Aufgaben a und b nachvollziehen:)
jedoch komm ich bei der c nicht weiter trotz der Hilfe
Lg
Bei den Bohrungen wäre das so: Mindestens eine bedeutet alles außer keine.
Du ziehst also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle 50 Bohrungen in die Hose gehen, von 1 ab. Wenn eine Bohrung zu 1 %=0,01 erfolgreich ist,
ist sie zu 99 % =0,99 eine Pleite. Hier kannst Du die Binomialkette verkürzen, denn 50 über 50 ist schlicht und einfach 1, während 0,01^(50-50)=0,01^0 auch nur 1 ist.
Du rechnest also einfach 1-0,99^50 und hast die Wahrscheinlichkeit dafür, daß wenigstens eine (oder auch mehr) Bohrung zum Erfolg führt.