Betrag = Betrag, pq formel negative wurzel?
Welche reellen Zahlen x erfüllen folgende Gleichung:
| x^2 - 3x +6 | = | x-3 |
mir wurde das so erklärt, dass ich als aller erstes die Nullstellen vom linken und rechten Term ausrechne
links gibt es aber keine reellen Nullstellen, die Wurzel bei der PQ-Formel ist negativ
auf sowas hat man mich nicht vorbereitet, wie gehe ich jetzt weiter vor?
2 Antworten
Hallo, Esxalon,
Du hast schon richtig erkannt, daß es für die erste Funktion keine Nullstellen gibt - jedenfalls keine reellen. Aber die Aufgabe besteht ja nicht darin, Nullstellen zu suchen, sondern den Schnittpunkt zwischen einer Parabel und der Funktion |x-3|. Es handelt sich in beiden Fällen um Betragsfunktionen. Betrag bedeutet: Wenn das Ergebnis zwischen den Betragsstrichen größer oder gleich 0 ist, mußt Du nichts unternehmen. Wenn es negativ wird, mußt Du es mit (-1) multiplizieren, damit es positiv wird.
Jetzt betrachten wir einmal Deine beiden Funktionen: Die erste ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und deren Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt. Das Ding wird in tausend Jahren nicht negativ. In diesem Fall kannst Du die Betragstriche also einfach weglassen.
Bei der Funktion f(x)= |x-3| sieht die Sache anders aus. Je nachdem, welchen x-Wert Du einsetzt, wird das Ergebnis innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ (oder =0). Wenn x größer oder gleich 3 ist - kein Problem. Du kannst die Betragstriche vergessen. Bei x kleiner 3 aber mußt Du die Funktion mit (-1) multiplizieren. Wenn Du jetzt die Betragsstriche auflöst, erhältst Du die Funktion f(x|x<3)=3-x.
Du hast also in diesem Fall zwei Funktionen, je nachdem, in welchem Bereich für x Du dich befindest. Wenn Du also einen Schnittpunkt zwischen den beiden Betragsfunktionen suchst, mußt Du die erste einmal mit x-3 gleichsetzen, wofür es keine reelle Lösung gibt; aber auch mit 3-x, was allerdings in diesem Fall auch keine Lösung hat. Wenn die Zahlen aus Deiner Frage korrekt sind, bekommst Du als Lösung eine leere Menge heraus. Wenn Du die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnest, siehst Du auch, daß sie sich nirgends schneiden.
Wenn Du eine Lösung gefunden hättes, hättest Du natürlich noch nachprüfen müssen, ob sie im Bereich der erlaubten Werte für x ist. Wenn Du z.B. die Parabel mit 3-x gleichgesetzt und 5 herausbekommen hättest, wäre etwas falsch gelaufen, weil f(x)=3-x ja nur für x < 3 gilt.
Ich hoffe, Dir mit dieser Antwort gedient zu haben.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Term x² - 3x + 6 wird also nie Null, er wechselt nie sein Vorzeichen, dh er hat überall gleiches Vorzeichen. Da er zB bei x = 0 den (pos.) Wert 6 hat, ist er überall positiv, und man kann die Betragsstriche weglassen.
1) x ‒ 3 > 0, dann ist |x ‒ 3| = x ‒ 3 und es gilt x² ‒ 3x + 6 = x ‒ 3 oder
x² ‒ 4x + 9 = 0 hat keine Lösung.
2) x ‒ 3 < 0, dann ist |x ‒ 3| = 3 ‒ x und es gilt x² ‒ 3x + 6 = 3 ‒ x oder
x² ‒ 2x + 3 = 0 hat auch keine Lösung. Die Ausgangsgleichung ist unlösbar.
Vielen Dank!