Bestimmen Sie den Parameter t so, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Wie muss ich vorgehen?
A (4/-7/t)
B (2/-5/7)
C (-1/-5/7)
4 Antworten
Grundsätzliche Überlegungen:
- zwei feststehende Punkte B und C sind vorhanden
- der Punkt A ist in x- sowie y-Richtung klar definiert und kann in der z-Achse (oder t-Achse) frei variiert werden
Aufgabe ist es aus den genannten Punkten durch festlegen von t ein gleichschenkliges Dreieck zu bilden. Damit ist grob erstmal nicht ausgeschlossen, dass es mehrere geben könnte und es ist nicht definiert welches, nur eines. Damit wird die Aufgabe sehr einfach.
Meines Wissens müssen mind. zwei Seiten eines Dreiecks die gleiche Länge besitzen um als gleichschenkliges Dreieck durchzugehen. Eine Seite ist von ihrer Länge schon klar definiert: BC
Meine erste Überlegung wäre die Länge BC zu ermitteln, diese Länge für AB zu gleichzusetzen und so t zu ermitteln. Inwiefern dies klappt, sehen wir dann:
Zuerst wird der Vektor BC ermittelt, dann der Betrag gezogen. Hieraus ergibt sich die absolute Länge in Längeneinheiten LE. Folgende Vektorpfeile oberhalb der Buchstaben ist sich zu denken.
BC = C - B = (-1 | -5 | 7) - (2 | -5 | 7) = (-1 - 2 | -5 - (-5) | 7 - 7)
BC = (-1 - 2 | -5 + 5 | 7 - 7)
BC = (-3 | 0 | 0)
Ziehen des Betrages:
|BC| = Wurzel [(-3)² + 0² + 0²] = Wurzel (9)
|BC| = 3 LE
Und daraus:
|BC| = |AB| = 3 LE
Analog für AB gilt:
AB = B - A = (2 - 4 | -5 - (-7) | 7 - t)
AB = (-2 | 2 | 7 - t)
Mit der Berechnung des Betrags folgt:
|AB| = Wurzel [-2² + 2² + (7 - t)²] = Wurzel [8 + (7 - t)²] = 3
Umstellen nach t:
Wurzel [8 + (7 - t)²] = 3 | quadrieren!
8 + (7 - t)² = 9
49 - t² = 1
t² = 48
t = Wurzel(48)
Und damit:
t = 6,93
Die Herangehensweise sollte klappen, aber keine Garantie auf mein Ergebnis bzw. dass ich keine Rechenfehler begangen habe.
Ich weiß, dass die Frage schon mehr als 2 Jahre alt ist, aber für die Leute, die immer noch solche Probleme lösen wollen hier eine kleine Korrektur:
Der Ansatz ist soweit super, doch bei der Vereinfachung zum Ende hin, als du die Klammer auflöst, handelt es sich um eine binomische Formel, also wäre es:
8 + (7-t)² = 9
t²-14t+49 = 1
weil (a+b)² eben = a²+2ab+b² und nicht a²+b² ist.
Durch die ABC-Formel erhält man für t 1,2= 6 und 8
Kleiner Fehler, der öfter mal vorkommt :)
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind sowohl zwei Schenkel (also zwei Winkel) als auch die beiden anliegenden Kanten/Seiten gleich groß bzw. gleich lang.
Das kannst du dir nun zur Hilfe nehmen. Du kannst entweder den Winkel oder die Seitenlänge nutzen. Je nachdem, welche Winkel oder Kanten direkt auszurechnen sind, kannst du dann darauf schließen, was noch fehlt und das dann einfach mit den Parametern in die Formel einsetzten und auflösen.
Wenn du also z.B. über die Winkel gehst und zwei berechnest, die unterschiedlich groß sind, dann weißt du ja, welcher der doppelt vorkommende ist, weil die Innenwinkel zusammen bekanntlich immer 180° im Dreieck ergeben. Demnach berechnest du dann den fehlenden Winkel und setzt dabei auch den Parameter t ein. Da du weißt, was für ein Winkel rauskommen muss, setzt du damit gleich. Dann kannst du einfach zum Parameter auflösen.
Für ein gleichschenkliges Dreieck gilt
Strecke AC = Strecke BC
Das ist aber nur ein Spezialfall, nämlich der mit den "Standardbezeichnungen". Aber in einem gleichschenkligen Dreieck ABC müssen nicht unbedingt AC und BC die gleich langen "Schenkel" sein.
Du musst t so bestimmen, dass der Abstand AB gleich dem Abstand AC ist, oder BC, oder AC gleich BC. Wie man Abstände im Raum berechnet weißt du, oder?
Perfekt danke!