Besseres Zahlensystem?

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4 Antworten

Richtig große Zahlen werden mit Pfeilen geschrieben. Aber selbst da gibt es Grenzen, bei denen man keine Lust mehr hat, Pfeile aufzuschreiben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Pfeilschreibweise

Die Frage ist nur, zu welchem Zweck man solche Zahlen aufschreiben wollen würde.

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Kommentar von rumar
30.10.2016, 17:36

Auf diese Weise lasen sich nur sehr, sehr wenige große Zahlen (aus einem vorgegebenen Zahlbereich von 1 bis N) wirklich effizient darstellen. Als Grundlage für ein Rechensystem, in dem prinzipiell alle natürlichen Zahlen vorkommen könnten, ist dieses System absolut unbrauchbar !

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Kommentar von rumar
30.10.2016, 17:46

Um zu testen, ob du mit solchen Zahlen rechnen kannst, schlage ich dir als Übung einmal vor, für die Zahlen

a = 4 î î î 3   und   b = 5 î î 2

die Summe a+b , die Differenz a-b und das Produkt  a*b darzustellen !

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Googolplex kann doch mit Dezimalzahlen als Potenz in eine Zeile geschrieben werden!

Es wird immer Spezialfälle geben, wo eine Rechenart (und es gibt viele Funktionen) für extrem große Zahlen besonders wenig Zeichen benötigt.

So kann man mit der Ackermannfunktion oder der Tetration Zahlen ausdrücken, die sehr viel größer als Dein Spezialfall "Googolplex " ist:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

(vergl. auch Wikipedia)

Ich arbeite dagegen mit Zahlen (egal ob mit oder ohne Nachkomma), die die 10 TB Grenze überschreiten (über 8 große Festplatten)!

Der Weltrekordler der Pi-Nachkommastellenberechnung fand ein schönes Format, dass besser als jede andere Komprimierung (ZIP, rar, ...) ist und super-schnelles Suchen und Auspacken erlaubt: *.ycd

Dabei werden 19 dezimale Ziffern in eine hexadezimale 64 Bit Zahl gewandelt und abgespeichert. Aus 19 Ziffern werden so 8 Bytes -> also auf weniger als 44%.

Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt...

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Kommentar von rumar
31.10.2016, 05:41

"Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt..."

Ja eben. In praktisch jedem heutigen Computer wird jede HEX-Zahl intern ja doch in die sämtlichen in ihr steckenden Bits zerlegt. Einen echten Gewinn an Speicherplatz erreicht man also nicht, wenn man zu einem Zahlensystem mit einer größeren Basis wechselt. Nur für uns Menschen ist es enfacher, uns etwa eine 4-stellige HEX-Zahl wie etwa  A6FC  zu merken anstelle der entsprechenden 16-stelligen Binärzahl  1010011011111100. Dies liegt an unserer eigenen "Hardware" ...  

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Nun ja, in der Antike war für den Normalgebrauch M = 1000 schon für die meisten Zwecke ausreichend. Allerdings gab es schon auch noch eine Symbolik, um noch größere Zahlen darzustellen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Römische\_Zahlschrift#Gro.C3.9Fe\_Zahlen

Nur zum Rechnen ist dieses System furchtbar kompliziert. In einem konsequenten Stellenwertsystem (z.B. mit der Basis zehn) wird dies viel einfacher, weshalb dies sich auch durchgesetzt hat.

Sowas wie "Googolplex" ist nun etwas sehr gesuchtes, das man in Wirklichkeit praktisch nicht braucht. Wenn es darum geht, in mathematischen Zusammenhängen gewisse sehr große Zahlen darzustellen, schafft man dies mit den Mitteln der Mathematik für die interessierenden Fälle schon. Wenn es darum geht, beliebige (also nicht nur relativ wenige ausgesuchte) riesengroße natürliche Zahlen aufzuschreiben, so gibt es dazu eine ganz klare informationstheoretische Grenze: Um alle Zahlen von 1 bis zu einer (riesengroßen) Zahl N auszudrücken, braucht man pro Zahl durchschnittlich lb(N) bits (im Binärsystem) oder log(N) (im Dezimalsystem) Ziffern etc. . Unterhalb dieser Schranke geht es nicht. 

Will man also eine Darstellung mit wenigen Ziffern, so muss der Informationsgehalt der einzelnen Ziffern entsprechend groß sein. Effizient ist ein derartiges "System" dann aber überhaupt nicht mehr.


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Man kann in die nächste Systeme eingehen. Hexadezimal wird in der Realität angewendet und hat 16 Zahlenzeichen, bevor der "Zahlensprung" kommt (also im Dezimalen von 9 zu 10, das ja keine "Zahl" mehr ist, sondern eine Summe aus zwei Zahlen)

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