Besseres Zahlensystem?
Hi :) Mit dem Dezimalsyste, können wir ja ne Menge Dinge machen. Mit dem römischen Zahlensystem kommen wir aber nicht sehr weit. Der Buchstabe M ist ja die größte Zahl, die man mit einem Zeichen ausdrücken. M=1000, wenn ich mich nicht irre. Würde man aber versuchen die Zahl 1 Billion aufzuschreiben, mit dem römischen Zahlensystem, dann müsste man ja 1 miliarde M's aufschreiben. Mit dem Dezimalsystem müssten wir einfach eine 1 und 12 Nullen aufschreiben. Aber das Dezimalsystem hat ja auch Grenzen. 1 Googolplex ist ja eine 1 mit einem Googol nullen. Das können wir auch nicht aufschreiben. Meine Frage ist es, ob es ein Zahlensystem gibt, mit dem man riesige Zahlen wie ein Googolplex ganz einfach aufschreiben könnte. Bei einem Googolplex ist das Dezimalsystem genauso nutzlos wie das römische.
5 Antworten
Man kann in die nächste Systeme eingehen. Hexadezimal wird in der Realität angewendet und hat 16 Zahlenzeichen, bevor der "Zahlensprung" kommt (also im Dezimalen von 9 zu 10, das ja keine "Zahl" mehr ist, sondern eine Summe aus zwei Zahlen)
Googolplex kann doch mit Dezimalzahlen als Potenz in eine Zeile geschrieben werden!
Es wird immer Spezialfälle geben, wo eine Rechenart (und es gibt viele Funktionen) für extrem große Zahlen besonders wenig Zeichen benötigt.
So kann man mit der Ackermannfunktion oder der Tetration Zahlen ausdrücken, die sehr viel größer als Dein Spezialfall "Googolplex " ist:
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
(vergl. auch Wikipedia)
Ich arbeite dagegen mit Zahlen (egal ob mit oder ohne Nachkomma), die die 10 TB Grenze überschreiten (über 8 große Festplatten)!
Der Weltrekordler der Pi-Nachkommastellenberechnung fand ein schönes Format, dass besser als jede andere Komprimierung (ZIP, rar, ...) ist und super-schnelles Suchen und Auspacken erlaubt: *.ycd
Dabei werden 19 dezimale Ziffern in eine hexadezimale 64 Bit Zahl gewandelt und abgespeichert. Aus 19 Ziffern werden so 8 Bytes -> also auf weniger als 44%.
Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt...
Anderes Beispiel:
Sonderfall Googolplex ist ja nur deshalb so bekannt, weil diese sich leicht als Potenz schreiben lässt: =10^(10^100)
Dabei hat unser Weltall nur 10^80 Atome!
Man kann nicht die Basis beliebig vergrößern, da dann die Übersetzungstabelle umständlicher und größer wird. Die Zeichen wären nicht mehr unterscheidbar,
selbst chinesische Zeichen (über 2000 Stück) reichen da nicht!
熒熖燈燌爤
Andere Zahl, um das zu verdeutlichen:
eine Zahl soll aus nur der Ziffer 3 bestehen und Googolplex Ziffern haben:
im Dezimalsystem schreibt man einfach:
(10^(10^100)*3-3)/9
Jede andere Basis (außer Sonderfall-Basen, wo sich was kürzt)
wären für diese extrem lange Zahl nicht mehr aufschreibbar, weil wir nicht so viel Papier oder Speicherplatz haben!
An irrationalen Zahlen merkt man es am besten, da es da keine einfachen "Muster" (Potenzschreibweise oder Brüche) gibt. Da hilft nur ycd.
anderes Beispiel: viele denken Basis 16 ist immer geeigneter als Basis 10 für große Zahlen:
dabei ist (10^333*3-3)/9 viel kürzer als
188a5e9b88cc9c7bed1849907e9e7d8ef27163a4a1ddb43bca24b8b27e5464bda3defca59bb0d3f45f4f98e68b86a2236ef7b1f12c40233d3cd5376bbbbd286e46356210be8d0d0eefccd58cf5ed3a618d01d879e62de44a0018bfd9f557b11c6355555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Eine gerade noch geeignete Basis wäre 62, denn dort sind alle Ziffern, Groß- & Kleinbuchstaben aufgebraucht:
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
in Basis 62 ergibt laut FromBase2Base(x,10,62)
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
aPKPKDvdvAiN6ywikKGuOz9cSVpfeZNacXE9UiE4tv
Richtig große Zahlen werden mit Pfeilen geschrieben. Aber selbst da gibt es Grenzen, bei denen man keine Lust mehr hat, Pfeile aufzuschreiben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Pfeilschreibweise
Die Frage ist nur, zu welchem Zweck man solche Zahlen aufschreiben wollen würde.
Auf diese Weise lasen sich nur sehr, sehr wenige große Zahlen (aus einem vorgegebenen Zahlbereich von 1 bis N) wirklich effizient darstellen. Als Grundlage für ein Rechensystem, in dem prinzipiell alle natürlichen Zahlen vorkommen könnten, ist dieses System absolut unbrauchbar !
Um zu testen, ob du mit solchen Zahlen rechnen kannst, schlage ich dir als Übung einmal vor, für die Zahlen
a = 4 î î î 3 und b = 5 î î 2
die Summe a+b , die Differenz a-b und das Produkt a*b darzustellen !
Nun ja, in der Antike war für den Normalgebrauch M = 1000 schon für die meisten Zwecke ausreichend. Allerdings gab es schon auch noch eine Symbolik, um noch größere Zahlen darzustellen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Römische_Zahlschrift#Gro.C3.9Fe_Zahlen
Nur zum Rechnen ist dieses System furchtbar kompliziert. In einem konsequenten Stellenwertsystem (z.B. mit der Basis zehn) wird dies viel einfacher, weshalb dies sich auch durchgesetzt hat.
Sowas wie "Googolplex" ist nun etwas sehr gesuchtes, das man in Wirklichkeit praktisch nicht braucht. Wenn es darum geht, in mathematischen Zusammenhängen gewisse sehr große Zahlen darzustellen, schafft man dies mit den Mitteln der Mathematik für die interessierenden Fälle schon. Wenn es darum geht, beliebige (also nicht nur relativ wenige ausgesuchte) riesengroße natürliche Zahlen aufzuschreiben, so gibt es dazu eine ganz klare informationstheoretische Grenze: Um alle Zahlen von 1 bis zu einer (riesengroßen) Zahl N auszudrücken, braucht man pro Zahl durchschnittlich lb(N) bits (im Binärsystem) oder log(N) (im Dezimalsystem) Ziffern etc. . Unterhalb dieser Schranke geht es nicht.
Will man also eine Darstellung mit wenigen Ziffern, so muss der Informationsgehalt der einzelnen Ziffern entsprechend groß sein. Effizient ist ein derartiges "System" dann aber überhaupt nicht mehr.
Mit Zehnerpotenzen
Das ist eine gute Möglichkeit - solange man eine überschaubare Nachkommastellenanzahl hat. Möchte man aber zum Beispiel alle bekannten Stellen von π, also Pi darstellen, dann müsste man ein Druckerpapier mit einer Länge von mehreren Erdumläufen herstellen
"Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt..."
Ja eben. In praktisch jedem heutigen Computer wird jede HEX-Zahl intern ja doch in die sämtlichen in ihr steckenden Bits zerlegt. Einen echten Gewinn an Speicherplatz erreicht man also nicht, wenn man zu einem Zahlensystem mit einer größeren Basis wechselt. Nur für uns Menschen ist es enfacher, uns etwa eine 4-stellige HEX-Zahl wie etwa A6FC zu merken anstelle der entsprechenden 16-stelligen Binärzahl 1010011011111100. Dies liegt an unserer eigenen "Hardware" ...