Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst?
Also meine Aufgabe lautet:
Berechnen sie den Inhalt, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst.
f(x) = 0,5x² - 3x
Wie mache ich das jetzt genau?
4 Antworten
Der Graph der Funktion f(x) = 0,5x² - 3x ist eine nach oben geöffnete Parabel, die nach unten verschoben ist.
Die Fläche wird also unter der x-Achse eingeschlossen. Das Ergebnis wird also negativ und muss am Ende das andere Vorzeichen bekommen, sofern du nicht schon Betragsstriche setzt.
Im Bild siehst du die Fläche, die du berechnen musst (gelb markiert).
Dafür musst du zuerst einmal die Grenzen berechnen. Das sind die Nullstellen der Funktion f.
Notwendige Bedingung:
f(x) = 0
0,5x² - 3x = 0 [Wir klammern x nun aus]
x (0,5x - 3) = 0 [Satz vom Nullprodukt sagt bereits: x1=0]
x1 = 0 v 0,5x - 3 = 0 |+3 [Hinweis: Das v steht in der Mathematik für "oder"]
x1 = 0 v 0,5x = 3 |:0,5
x1 = 0 v x2 = 6
Das sind also unsere Grenzen, die du auch auf dem Bild sehen kannst.
Untere Grenze (a) ist x1=0, obere (b) x2=6.
Nun müssen wir für das Integral die Stammfunktion F von f berechnen. Falls du da nochmal Hilfe brauchst, schau hier, in dem 2. & 3. Bild oder suche selbst nach Videos auf YouTube:
https://www.mathebibel.de/stammfunktion
f(x) = 0,5x² - 3x
F(x) = (0,5/(1+2))x³ - 3/(1+1)x²
F(x) = (1/6)x³ - (3/2)x²
Nun musst du wie gelernt das Integral berechnen, indem du ∫ = F(b) - F(a), also in deinem Fall ∫ = F(6) - F(0) berechnest.
Da F(0) sowieso 0 ergibt, kannst du dir den Part sparen.
∫ = F(6) = (1/6)*6³ - (3/2)*6²
∫ = F(6) = (1/6) * 216 - (3/2) * 36
∫ = F(6) = -18
Wie gesagt musst du das Vorzeichen dann umdrehen, weil die Fläche unter dem Graphen ist und wird deswegen ein negatives Vorzeichen bekommen.
Damit ist die Fläche unter dem Graphen A = 18FE groß.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Das Grundvorgehen ist einfach:
- Schnittpunkte von x-achse und deiner funktion berechnen. nennen wir sie x1 und x2.
- integral von x1 nach x2 von f(x) berechnen, d.h. stammfunktion F(x) von f finden und F(x2)-F(x1) berechnen.
Das ist der Weg, wie es vorgesehen ist, dass du die Aufgabe löst.
Ab hier für dich unwichtig aber etwas Philosophie:
Insofern in der Aufgabe steht "Berechne die Fläche zwischen x-achse und funktion f(x)" , dann müsste man genau genommen das integral von -unenedlich bis unendlich berechnen.
steht hingegen "fläche die von f(x) u8nd x-achse eingeschlossen wird", dann ist klar:
die fläche muss nach allen seiten hin entweder von x-achse oder f(x) begrenzt sein, d.h. nur zwischen den schnittpunkten integrieren.
in 100% aller fälle werden die beiden ausdrücke synonym benutzt und meinen stets das integral zwischen den schnittpunkte, obwohl wenn mans sprachlich ganz genau nimmt, die erste formulierung keine begrenzung hinsichtlich der integrationsgrenzen vorsieht.
Und man im breich hier die integrale von -unendlich bis x1, von x1 bis x2 und von x2 bis +unendlich aufaddieren müsste.
Selbstredend wäre das ergebnis irgendwas unendliches.
Will diese unfein heit in der ausdrucksweise nur mal angemerkt haben.
Aber realistisch betrachtet weiß jeder dass immer nur die fläche zwischen den schnittpunkten gemeint ist.
Du machst das mithilfe des Integrals.
Zuerst berechnest du die Nullstellen, die niedrigere Stelle ist der untere Grenzwert des Integrals und der höhere Wert der obere. Dann gibst du es im Taschenrechner ein.
Wenn ihr es im Kopf ausrechnen müsst ist es etwas Komplizierter, dann musst du die Stammfunktion bilden und anschließend die Grenzwerte in die Stammfunktion eingeben und ausrechen.
Wenn ich dir es einmal vorrechnen soll antworte doch nochmal.
Mit einem Integral
Das Problem ist, dass man die Aufgabe ohne Taschenrechner ausrechnen muss und ich habe eine Nullstelle bestimmt. Doch bei mir kam keine zweite raus.