Anwendungen der Differenzialrechnung?
Hallo,
Ich verzweifel mittlerweile bei diesem Thema. Egal wie oft ich es versuche, ich komme nur auf komische Werte die keinen Sinn machen.
Ich hoffe jemand kann etwas damit anfangen.
2.a)
2 Antworten
f(t) = a*t³ + b*t² + c*t + d
f'(t) = 3a*t² + 2b*t + c
f''(t) = 6a*t + 2b
a)
Es rechnet sich leichter, wenn man bei t = 0 beginnt und diese Verschiebung später berücksichtigt.
f(0) = 0 -> d = 0
f'(0) = 0 (Produktionsrate 0) --> c = 0
f'(14-6) = 64 --> 3a*8² + 2b*8 = 64
f''(14-6) = 0 (Extrempunkt der Produktionsrate) --> 6a*8 + 2b = 0
Lösung der letzten zwei Gleichungen: a = -1/3, b = 8
f(t) = -1/3*t³ + 8*t²
Jetzt wieder auf 6 Uhr verschieben
g(t) = f(t-6) = -1/3*(t-6)³ + 8*(t-6)² = -1/3*t³ + 14*t² - 132t + 360
b)
Integral[6,20] g(t)
oder
Integral[0,14] f(t) = 4116 L
c)
f'(t) = -t² + 16t = 10
Das gilt für
t1 = 8 - 3*sqrt(6)
t2 = 8 - 3*sqrt(6)
Die Produktionsrate liegt also für t < (14 - 3*sqrt(6)) und t > (14 + 3*sqrt(6)) unter 10 l/h
dein Ansatz ist schon mal richtig
f(0)=0
f'(0)=0
f'(8)=64
f''(8)=0
mit den ersten beiden erhält man direkt d=0 und c=0
mit f''(8)=0 erhält man 48a+2b=0
mit f'(8) und c=0 erhält man 192a+16b=64
kürzt man die Gleichungen, hat man folgendes LGS:
24a+b=0
12a+b=4
subtrahieren:
12a=-4
daraus a=-1/3
einsetzen:
12*(-1/3)+b=4
b=8
die Funktion lautet:
f(x) = -1/3 x³ + 8x²