Amplitude bei gedämpfter Schwingung?

Hallo. Vielleicht kann mir jemand helfen. Die Aufgabe lautet: Die Amplitude der ersten und dritten gedämpften Schwingung des Zeigers einer Analysenwaage betragen 10,5 bzw. 9,9 Skalenteile. Wie groß ist die Amplitude der achten Schwingung? Ergebnis sollte 8,54 Skalenteile ergeben. Ich komme immer auf 8,97. Habe ich einen Denkfehler?

Answer 1

[BurkeUndCo]

Ich kenne deinen Rechenweg nicht, kann aber das Sollergebnis gut nachvollziehen.

Die Dämpfung dieser gedämpften Schwingung erfolgt im Regelfall exponentiell, also wird es von Amplitude n nach Amplitude n+1 immer um den gleichen Faktor gedämpft.

Von der ersten Amplitude (10,5) bis zur 3.- Amplitude (9,9) gibt es eine Dämpfung um den Faktor 9,9 / 10,5 = 0,942857.

Das ist aber bereits die Dämpfung nach 2 Intervallen. Die Dämpfung pro Intervall ist die Wurzel daraus, also 0,971008.

Die 8. Amplitude ist die 7. Amplitude, die auf die erste Amplitude folgt. Also gibt es 7 Dämpfungsvorgänge. Die Gesamtdämpfung ist demzufolge 0,971008 hoch 7 = 0,813880.

Multipliziert man diese Gesamtdämpfung mit dem Wert der ersten Amplitude, dann ist das 10,5 x 0,813880 = 8,54575.

Das passt doch sehtr gut zur erwarteten Lösung.

Comments

[Ciraoma]

Vielen Dank für die schnelle Hilfe 👍

[BurkeUndCo]

@Ciraoma

Bitteschön

Answer 2

[AMG38]

Bei gedämpften Schwingungen ist der Quotient von zwei aufeinander folgenden Amplituden näherungsweise konstant.

$\frac{A_{nachher}}{A_{vorher}}=const.$

Dieses als "const." bezeichnetes Verhältnis nennt man auch die Dämpfungskonstante "d".

In der Aufgabenbeschreibung sind aber keine direkt aufeinander folgenden Amplituden gegeben, sondern die erste und die dritte. Dennoch kann man daraus die Dämpfungskonstante ermitteln, denn immer wenn die "Zwischenamplituden" fehlen, kann man dies über die zweite, dritte, vierte usw. Wurzel herausfinden.

Gehen wir das mal Schrittweise durch. Zunächst wie oben für zweiaufeinander folgende Amplituden:

$d=\frac{A_{1nachher}}{A_{1vorher}}$

Hat man wie in der Aufgabe nur die zweite Nachher gegeben:

$d=\ \ ^2\sqrt{\frac{A_{2nacher}}{A_{vorher}}}$

Hat man die dritte Nachher gegeben:

$d=^3\sqrt{\frac{A_{3nachher}}{A_{vorher}}}$

In deiner Aufgabe ist:

$A_{vorher}=10,5\ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ A_{2nachher}=9,9$

Daraus erhalten wir:

$d=^2\sqrt{\frac{9,9}{10,5}}=0,971$

Da wir nun wissen, dass diese Dämpfungskonstante d eben konstant ist, können wir die Gleichung nach der gesuchten, 8. Amplitude umstellen. Das sind 7 Amplituden nachher, also müssen wir mit der siebten Wurzel arbeiten:

$d=\ ^7\sqrt{\frac{A_{7nachher}}{A_{vorher}}}$

Nach umstellen erhalten wir:

$A_{7nachher}=d^7\cdot A_{vorher}=\left(0,971\right)^7\cdot10,5=8,545$