Frage von roromoloko, 48

Federschwinger - Dämpfungskonstante berechnen?

Ein gedämpfter Federschwinger mit m=2 kg ist zur Zeit t=0 um 3 cm aus der Ruhelage ausgelenkt. Die Federkonstante beträgt 400 N/m.

a) Bestimmen sie die Schwingungsdauer für den Falle einer ungedämpften Schwingung sowie die Gesamtenergie der Schwingung.

b) Bestimmen sie die Dämpfungskonstante b für den Fall, dass die Energie während jeder Periode um 1% abnimmt.

y(t) = y_max * (e^-d* t) * cos(w*t)

d soll eine Dämpfungskonstante sein, gleichzeitig steht im Buch ..

d = b / 2m

b soll ebenfalls eine Dämpfungskonstante sein..?

Da y_max konstant ist, und der cos die Schwingung beschreibt, dachte ich Folgendes:

e^-dt = 0,99

Denn 99% der Amplitude bleibt erhalten

Ich weiß nur nicht, was ich für t einsetzen soll

wenn t=1

d = ln(0,99)

b/ 2m = ln(0,99)

b = 0,0406

Kann man das so rechnen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 38

Bestimmen sie die Schwingungsdauer für den Falle einer ungedämpften Schwingung sowie die Gesamtenergie der Schwingung.

Die Gesamtenergie ist leicht auszurechnen; hierfür benötigst Du nur D=400N/m und y_{max}=3×10⁻²m, beides Größen, die Du hast, und wendest die Formel

(1) E_pot(t) = ½Dy²(t)

auf t=0 an, unter Ausnutzung von y(t=0)=y_{max}. Die gesamte Energie ist nämlich gleich der potentiellen Energie zu diesem Zeitpunkt, denn in Bewegung ist ja noch nix. Mit

(2) ω = 2π/T = √{D/m} <=> T = 2π/√{D/m}

kannst Du auch noch die Periodendauer der ungedämpften Schwingung berechnen. Im Folgenden ändere ich d in δ, auch in Zitaten, weil ich die Dämpfungskonstante üblicherweise so geschrieben kenne:

e^{-δt} = 0,99

schon mal ein guter Ansatz, natürlich mit dem richtigen t.

Ich weiß nur nicht, was ich für t einsetzen soll

T natürlich! Schließlich soll die Abnahme der Amplitude binnen 1 Periode erfolgen, und deren Dauer ist durch (2) gegeben.

wenn t=1

t ist eine Zeit, und δ hat folglich wie ω die Dimension einer inversen Zeit.

δ = ln(0,99)

Nicht δ, sondern δ∙T = 2πδ/√{D/m}. Daraus kannst Du dann auch leicht b (im Buch vielleicht β?) berechnen.

Kommentar von SlowPhil ,

b = 0,0406

Wenn schon, dann b = 0,0406kg/s - falls dieses m in "δ = b/2m" überhaupt eine Masse sein sollte. Die Maßeinheiten müssen so beschaffen sein, dass δt dimensionslos wird, deshalb ist auch [δ] = 1/s.

Kommentar von roromoloko ,

Also ich rechne gerade nochmal alle Aufgaben durch und hab auch hier ne Frage..

Hab jetzt für die Energie

E_pot(t) = ½Dy²(t)

E_pot(t) = ½ * 400 0,03² * cos²14,14 * t

Wobei omega = 14,14

= 0,18 J

Die Zahl ist sehr klein, daher frage ich nochmal nach ob es richtig ist..

Für die Dämpfungskonstante delta hab ich:

e^-0,44* delta = 0,99

Wobei T = 0,44

=> delta = 0,02

delta = b/ 2m

b = 0,09

Ist das richtig?

Kommentar von roromoloko ,

Ich habe mir die Aufgabe ja nochmal angeschaut und da steht noch:

Berechnen Sie den Energiebetrag, der im Zeitintervall (0;2) in Wärme umgewandelt wird.

Ich würde die Energie mit der Auslenkung:

y(t) = y_max * (e^-d* t) * cos(w*t)

berechnen mit t = 2T

und den Wert minus der Gesamtenergie von 0,18J berechnen.

Kommentar von SlowPhil ,

Mit einem »Zeitintervall (0,2)« kann ich nichts anfangen. Zeit ist nicht dimensionslos, und es ist unklar, ob 2 Sekunden oder 2T gemeint ist.

Kommentar von roromoloko ,

2T sind gemeint. Und was ist mit dem Rest?

Kommentar von SlowPhil ,

Den brauchst du nicht. Du hast die Information, dass in einer Schwingungsperiode die Amplitude um 1% abnimmt. Da 2T gemeint ist, also die doppelte Schwingungsdauer und nicht eine bestimmte Zeit, brauchst Du nur noch

ΔE = E₀(1 – (0,99)⁴)

zu rechnen, das erste Quadrat wegen der 2 Perioden und das zweite, weil die Energie zum Quadrat der Amplitude proportional ist.

Kommentar von SlowPhil ,

Ach ja, natürlich ist

E₀ = ½Dy&x2080; = 1,8×10¯¹J,

die Energie, die Du anfänglich hineingesteckt hast.

Kommentar von SlowPhil ,

y&x2080; → y₀

Kommentar von roromoloko ,

1. y&x2080; → y₀

y&x2080 ---> was soll das heißen :D

2.ΔE = E₀(1 – (0,99)⁴)

zu rechnen, das erste Quadrat wegen der 2 Perioden und das zweite,
weil die Energie zum Quadrat der Amplitude proportional ist.

Ich hab das noch nicht ganz verstanden.. Wieso spielt jetzt "plötzlich" die Amplitude eine Rolle?

Kommentar von SlowPhil ,
  1. Ich wollte »y&#x2080;« schreiben, was die App zu »y₀« macht (in Chromium kann man es mit SRTG+C rauskopieren und mit U+STRG+V wieder einfügen), und hatte ein »#« vergessen. Das »…→…« ist im Sinne von z.B. »Dreckfohler→Druckfehler« gemeint.
  2. Die Amplitude - nicht spielt eine  aber die momentane Auslenkung - spielt eine Rolle, weil Du die Energie berechnen willst, die in Wärme verbratzt wird, und das hängt von der Maximalenergie E₀ und damit natürlich auch der Amplitude ab. Aber sorry, es muss doch nur »(1 – (0,99)²)« heißen, denn oben steht ja »für den Fall, dass die Energie während jeder Periode um 1% abnimmt.« Ich hatte »Amplitude« in Erinnerung und kann das in der App leider nicht nachgucken, ohne aus der Eingabe rauszugehen.

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