Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln?
Kann mir einer Schritt für Schritt erklären, wie man es umwandelt . Wenn ich im Internet danach suche, kriege nur Beispiele, wo vor dem x eine zahl steht, die ich ausklammern kann und halbieren muss. Ich weiß nicht, wie ich x halbieren soll oder x^2 ausklammern kann
gelöscht
Das ist die ganze Aufgabe . Da steht doch das ich den Scheitelpunkt der Parabel p herausfinden soll und die Parabel p ist doch p(x) = x^2 − x + 2 und was meinst du mit Intervall?
4 Antworten
Hallo,
die Allgemeinform einer Parabel ist ax²+bx+c.
Der Scheitelpunkt liegt da, wo die Ableitung gleich Null wird.
Ableitung ist allgemein f'(x)=2ax+b.
2ax+b=0; 2ax=-b; x=-b/(2a).
Bei x=-b/(2a) liegt also der Scheitelpunkt einer Parabel.
Die y-Koordinate des Scheitelpunktes bekommst Du, wenn Du -b/(2a) anstelle von x in f(x) einsetzt:
f(-b/(2a))=a*(-b/(2a))²+b*(-b/(2a))+c.
Das kannst Du zusammenfassen zu a*b²/4a²)-b²/(2a)+c und weiter zu
b²/(4a)-b²/(2a)+c.
Erweiterst Du -b²/(2a) mit 2, kannst Du es mit b²/(4a) zu -b²/(4a) zusammenfassen.
Erweiterst Du dann noch c mit 4a, kannst Du alles auf einen Bruchstrich bringen:
(4ac-b²)/(4a).
Das ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts einer x-beliebigen Parabel.
Scheitelpunkt ist also S (-b/(2a)|(4ac-b²)/(4a)).
Nun kannst Du die allgemeine Form über die quadratische Ergänzung umwandeln.
Zunächst ziehst Du den Faktor a aus ax²+bx+c:
a*(x²+(b/a)x+c/a).
Nun wandelst Du die ersten beiden Summanden in der Klammer durch die quadratische Ergänzung (b/(2a))²=b²/(4a²) zu x²+(b/a)x+b²/(4a²)=(x+b/(2a))² um.
Natürlich mußt Du die Ergänzung b²/(4a²) wieder abziehen.
Das ergibt a*((x+b/(2a))²-b²/(4a²)+c/a).
Nach Erweiterung ergibt das a*((x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a²).
Nimm alles außer dem Binom aus der Klammer heraus:
a*((x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a).
Vergleiche das nun mit den Koordinaten des Scheitelpunktes:
(4ac-b²)/(4a) ist die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Diesen Term kannst Du durch den Buchstaben e ersetzen, indem Du e=(4ac-b²)/(4a) definierst.
Setzt Du die x-Koordinate des Scheitelpunktes -b/(2a) gleich d, dann ist b/(2a) das Gleiche wie -d.
So kommst Du auf die Scheitelpunktform f(x)=a*(x-d)²+e mit Scheitelpunkt S (d|e).
Herzliche Grüße,
Willy
Dann fehlen Dir noch eine Menge Grundlagen. Meine Antwort bezieht sich auf die Umwandlung der allgemeinen Form einer Parabel in die Scheitelpunktform.
ja das sehe ich aber ich verstehe deine schritte nicht
Welchen Koordinate-Punkt rechne hier aus? "Bei x=-b/(2a) liegt also der Scheitelpunkt einer Parabel." und "f(-b/(2a))=a*(-b/(2a))²+b*(-b/(2a))+c." was versucht hier zu machen
Setze für a, b und c die konkreten Werte der gegebenen Funktion ein.
Lautet die Gleichung zum Beispiel f(x)=3x²-x+4, dann ist a=3, b=-1 und c=4.
Einsetzen, fertig.
Wenn die x-Koordinate des Scheitelpunktes -b/(2a) ist und a ist gleich 3 und b=-1, dann liegt der Scheitelpunkt bei x=1/(2*3)=1/6.
Nun kannst Du entweder die Werte von a, b und c in den Term für die y-Koordinate einsetzen und ausrechnen oder einfach x=-1/6 in die Funktionsgleichung einsetzen, das kommt dann aufs Gleiche heraus.
Mit Sy (y-Koordinate des Scheitelpunktes) gleich (4ac-b²)/(4a) und a=3, b=-1, c=4 kommst Du auf die Koordinate 47/12, nämlich (4*3*4-1)/12. Setzt Du x=1/6 in f(x)=3x²-x+4 direkt ein, bekommst Du als y-Koordinate des Scheitelpunktes
3*(1/6)²-1/6+4=47/12, also genau das vorige Ergebnis.
In meiner Antwort ging es vor allem darum zu zeigen, wie man auf die Scheitelpunktform einer Parabel f(x)=a*(x-d)²+e gekommen ist. Wo kommen das d und das e her und wieso ist das letztlich das Gleiche wie f(x)=ax²+bx+c?
Du machst wie üblich eine quadratische Ergänzung (Hinweis: - x = - 1·x)
Skizze:
kriege nur Beispiele, wo vor dem x eine zahl steht, die ich ausklammern kann und halbieren muss.
simple : Es steht ein nicht hingeschriebene +1 oder -1 davor
halbiert also +0.5 oder -0.5
nein : man schreib 2x für zwei_x oder nur x für ein_x (1x)
auch bei x² = 1x² oder -x² = -1x² wird die 1 nicht hingeschieben
.
In der pq - Formel ist bei x² + x + 7 das p = +1 und das q = +7
Die Parabel hat am Scheitelpunkt eine waagrechte Tangente:
p(x) = x^2 - x + 2
p'(x) = 2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
p(0,5) = 0,25 - 0,5 + 2 = 1,75
Lösung: S(0,5/1,75)
Ich hab keinen Schritt hier von verstanden und wie ich das auf meine allgemeine Parabel anwenden soll oder woher die Ableitung kommt oder was du ausrechnest im Text.ich gib dir Beispiele was ich nicht verstehe