Algebraische Zahlen, Wikipedia?
Hallo liebe Experten!
Ich beziehe mich auf die Zeile unter "mit rationalen Koeffizienten" :
Wo soll ich die Definitionen abtrennen, denn es wird alles mit Kommata gemacht?
a_k ist ein Element aus rationale Zahlen ;
k= 0,1,2,.....,n ;
a_n ungleich 0
Das heißt dann so viel wie:
Die Koeffizienten sind alle rational und der vor dem größten expotenzierten x ist nicht 0. Außerdem wird der generelle Koeffizient a_k im Einzelfall (siehe Abbildung) mit a_1, a_2... nummeriert.
Wäre das so richtig interpretiert?
Vielen Dank für jegliche Hilfe
Ben
3 Antworten
Ja, das ist richtig! Die Koeffizienten müssen rational sein, denn sonst ist zum Beispiel pi die Nullstelle des Polynoms p(x)=x-pi. Doch pi ist nicht algebraisch über dem Körper Q, denn es gibt keine Polynome mit Koeffizienten aus Q, dessen Nullstelle pi wäre. Über dem Körper R ist pi aber algebraisch, eben als Nullstelle von p(x)=x-pi.
Ja, f ist ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und der Leitkoeffizient ist nicht 0. Formell:
Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch, wenn
Hierbei steht N für die Menge der natürlichen Zahlen und Q für die Menge der Rationalen Zahlen (ich hab die "schönen" Symbole mit dem Editor nicht hinbekommen).
Das ist so richtig interpretiert. Zwei kleine Anmerkungen:
- Es ist egal, ob vor dem größten potenzierten x eine 0 steht oder nicht. Steht vor dem größten potenzierten x eine Null, so fällt dieser Term einfach weg und du schaust dir den nächstkleineren Term im Polynom an. Das Polynom p(x) = x^3+x^2+5 ist zum Beispiel gleich 0*x^11+x^3+x^2+5, aber in dieser Variante fällt der Term 0*x^11 eben weg und du fängst beim nächstkleineren Exponenten, also eben bei x^3 an.
- In diesem Fall ist es egal, ob das Polynom nicht-konstant ist. Konstante Polynome haben nur eine Nullstelle, wenn diese Konstante eben gleich 0 ist (das Polynom p(x) = 5 hat zum Beispiel keine Nullstelle), und die 0 ist ohnehin eine algebraische Zahl (denn sie ist zum Beispiel Nullstelle des nicht-konstanten Polynoms p(x) = x).
Das kann ich nicht ganz bejahen. Wenn man eine Lineare Funktion hat und der Koeffizient vor x= 0 ist, kann die konstante ja 0 sein (f(x)= 0x+0).
Somit liegt die Funktion auf der x Achse und schneidet sie unendlich oft, also auch an den Punkten (pi/0) und (e/0), wodurch pi und e algebraisch wären.
Vielen Dank für die schnelle und gute Antwort.