Ab wann benutze ich tan und ab wann tan hoch -1?

Wenn du einen Winkel hast, nimmst du tan (oder sin oder cos):
tan 30° = 0,57735

Wenn du einen Winkel willst, nimmst du das Seitenverhältnis (als Beispiel:
Gegenkathete = 4, Ankathete = 5) und gibst tan⁻¹ ein:
tan⁻¹ (4/5) = 38,6598°

Die Taste wird meist mit Shift und tan erreicht.

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Das "ab" in deiner Frage ist nicht sinnvoll.

Den Tangenz benutzt man auch wenn man ein Dreieck mit einem rechten Winkel hat und die Werte für die Gegenkathete und Ankathete hat. Dann kannst du mit dem Tangenz die Hypotenuse berechnen in dem du Gegenkathete durch Ankathete dividierst. 

Ab wann benutze ich tan und ab wann tan hoch -1?

Die Formulierung ist unglücklich, denn „ab wann“ suggeriert, Du bräuchtest für eine und dieselbe Sache mal „tan“ und mal „tan⁻¹“, und das stimmt natürlich nicht. Vielmehr kommt es darauf an, was Du kennst und was Du herausfinden willst.

Im Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse

r = √{x² + y²}

dargestellt. Wenn Du den Winkel α kennst und das Verhältnis

y/x = tan(α)

wissen willst, musst Du „tan“ benutzen, wenn Du y/x kennst und α ausrechnen willst, „tan⁻¹“.

Zusatzinformation zur Schreibweise

Die Bezeichnung ist etwas irreführend, denn in Anlehnung an

sin²(α) := (sin(α))²

könnte „tan⁻¹“ auch als

(tan(α))⁻¹ = 1/(tan(α))

missverstanden werden; das ist aber der Cotangens und wird mit „cot(α)“ oder der aus naheliegenden Gründen bevorzugten Schweibweise „ctg(α)“ bezeichnet.

Mit „tan⁻¹“ ist hingegen die Umkehrfunktion der Tangensfunktion gemeint, der Arcustangens-Funktion, die mit „arctan(α)“ oder „atan(α)“ bezeichnet wird.

Der Bezeichnung „tan⁻¹“ liegt eine etwas abstrakte Vorstellung zugrunde, die „tan“ als Operator auffasst, der mit dem Winkel α gleichsam multipliziert wird und dabei dessen Tangens ausspuckt. In diesem Sinne wird der Arcustangens-Operator als eine Art „Kehrwert“ des Tanens-Operators aufgefasst.

Die „Eins“ im Reich der Operatoren ist der Identitätsoperator „id“, der eine Größe auf sich selbst abbildet: id(α)=tan⁻¹tanα = α.

Das gilt natürlich nur in einem begrenzten Bereich von α.

tan ist eine (periodische) Funktion:

Wenn du bei y = tan(x) das y ausrechnen willst, nimmst du tan.

Falls du y weißt, und das y ausrechnen willst, musst du den Tangens umkehren:

x = tan^-1 (y)

Man schreibt auch :

x=arctan(y)

Die Umkehrfunktion ist wegen der Periodizität aber natürlich nicht eindeutig.