3 maliger Wurf eines Würfels, Varianz und Standardabweichung?
Hallo Leute, ich verstehe dieses Beispiel gar nicht und wollte fragen, ob mir jemand weiterhelfen kann.
Mfg,
qMath
Es ist Beispiel 10.25
1 Antwort
Hi!
Erstmal sei X die Zufallsvariable, die für unsere gewürfelte Zahl steht. X nimmt also zufällig einen ganzzahligen Wert von 1 bis 6 an, und jeden dieser Werte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6.
Um die Varianz von X verstehen zu können müssen wir erst den Erwartungswert von X kennen. Den Erwartungswert E[X] kann man sich als den durchschnittlichen Wert von X vorstellen: Wenn Du also mehrmals würfelst und den Durchschnitt der Zahlen ausrechnest, sollte dieser Wert in etwa dem Erwartungswert entsprechen.
Um E[X] auszurechnen, nimmt man jeden möglichen Wert von X (also 1,...,6), multipliziert diesen mit der Wahrscheinlichkeit, mit der er auftritt, und summiert dann die Ergebnisse. Beim würfeln tritt jede Zahl mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auf. Also ist
in diesem Fall (bei Gleichverteilung) also tatsächlich genau der Durchschnittswert.
Die Varianz, Var(X), beschreibt jetzt die erwartete Abweichung vom Erwartungswert. Das heißt, je größer die Varianz, desto stärker weichen die gewürfelten Werte durchschnittlich vom Erwartungswert, also in diesem Fall 3.5, ab.
Um Var(X) zu berechnen, ziehst Du den Erwartungswert von X von jedem der Werte, den X annimmt ab und quadrierst anschließend das Ergebnis. Dann multiplizierst Du jeden dieser Werte wieder mit der Wahrscheinlichkeit, mit der der Wert auftritt und summierst wieder die Ergebnisse:
Leider gibt die Varianz nicht direkt die erwartete Abweichung von E[X] an, sondern sie ist das Quadrat dieser Abweichung. Das können wir natürlich einfach ändern, indem wir die Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist die Standardabweichung von X, oft mit σ (kleines Sigma) abgekürzt:
in unserem Fall also
Also kann man sagen, dass der Erwartungswert beim Würfeln 3.5 beträgt, und die gewürfelten Zahlen durchschnittlich um etwa 1.71 davon abweichen. Nice!
Kannst Du mit diesem Wissen jetzt auch die 10.25 lösen?
Viele Grüße
