Mathe Stochastik faires Spiel?
Hallo, ich hab eine Frage. Ich schreibe demnächst eine Mathe Arbeit und mir sind einige Dinge nicht klar. Wenn ich zum Beispiel bei einer Aufgabe ein nicht faires Spiel hab, ist ja meistens die Aufgabe, die Auszahlung so zu ändern, dass das Spiel fair ist. Wie gehe ich davor, was muss ich dann machen? Das Prinzip ist ja immer das selbe.
es kann aber auch abgefragt werden, dass man den Einsatz ändern soll, und wie geh ich da vor? Ich bitte echt um Hilfe, weil ich gar nicht weiter komme.
Oder man soll den maximalen Gewinn ändern.
Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll bei solchen Aufgaben. Könntet ihr mir den Rechen Weg erklären, weil der ist ja immer das selbe nur mit anderen Aufgaben
2 Antworten
Man kann immer
entweder an den Gewinnen drehen
oder am Einsatz um das Spiel fair zu machen
Es gibt beide Aufgabentypen , wo man entweder gezwungen wird ,das eine oder das andere zu machen oder für beides
.
1/6 * 1 + 2/6 * 2 + 3/6 * 0 = 5/6 Euro Erwartungswert
Mit 5/6 Euro Einsatz ist das Spiel fair , mit unter 5/6 besser für den Spieler , weil er ja mehr rausbekommt
Angenommen der Einsatz ist 1 Euro : dann bekommt man das Spiel fair , wenn man ihn auf 5/6 senkt
ODER man löst
1/6 * x + 4/6 + 0 = 1
1/6 * x = 1 - 4/6
x = ( 2/6 ) * 6 = 2
oder man erhöht den Gewinn , der vorher ein Euro war auch auf 2 Euro
Hallo.
Wenn das Spiel fair sein soll, dürfen weder Betreiber noch Spieler Gewinn oder Verlust erwirtschaften. Der Einsatz muss also so hoch sein, wie der zu erwartende Gewinn.
Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel. Ein Würfelspiel, 5€ Einsatz! Würfelst du eine gerade Zahl, bekommst du 8€, sonst nichts. Ist das Spiel fair?
Welche geraden Zahlen gibt es auf einem Würfel? 2, 4 und 6 -> also 3. Wie viele Zahlen insgesamt? 6 natürlich. Die Chance eine gerade Zahl zu würfeln beträgt also 3/6 = 1/2.
Damit beträgt der Erwartungswert?
E = (1/2) * 8 = 8/2 = 4€
4€ bei 5€ Einsatz. Wie müssten wir also die Ausschüttung verändern, damit das Spiel fair ist? Der Spieler muss 5€ bekommen, die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht, nur die 8€ sollen sich ändern:
(1/2) * x = 5€ | : (1/2)
x = 10€
Die Ausschüttung müsste also 10€ betragen, damit das Spiel fair ist.
Wenn du konkretere Fragen hast, dann such ein Beispiel raus, an dem wir es dir erklären sollen.
Ich denke, da hast du was falsch verstanden. Es müssen 10€ Gewinn sein, damit das Spiel fair wird. Oder der Einsatz muss auf 4€ verringert werden.
Zunächst einmal wird dort der Einsatz so abgeändert, dass das Spiel fair ist, nicht die Ausschüttung. Das ist was anderes.
Darüber hinaus wird dort Gewinn und Einsatz in Abhängigkeit zueinander betrachtet, der Erwartungswert wird also auf Basis der Ausschüttung berechnet, nicht auf Basis des Gewinns.
Das siehst du daran, dass sie für den Fall, wo es 0€ Gewinn gibt, sie -1€ berechnet für den verlorenen Einsatz. Es kommt also darauf an, wie du den Erwartungswert aufstellst. Den zu erwartenden Gewinn? Oder die zu erwartende Ausschüttung?
Für mein Fallbeispiel müssten wir den Erwartungswert dann anders berechnen:
E = (1/2) * 8€ + (1/2) * (-5€)
E = 4 - 2,5
E = 1,5
Der Spieler verliert also durchschnittlich 1,5€ pro Wurf. Wir müssten es um den Einsatz verringern, damit das Spiel fair wird.
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Aber das ist wie bereits erwähnt eine ganz andere Fragestellung. In dem Video wird gefragt, um wie viel der Einsatz angepasst werden muss. Auch wird dort der Erwartungswert anders berechnet, als ich es für mein Beispiel getan habe.
was genau bedeutet Ausschüttung ? Ist damit der Gewinn gemeint ?
könnte man das also wie im Video so machen ? Würde das Ergebnis also 9 Euro richtig sein, wenn man den EINSATZ ändern würde?
Puh.
Angenommen du und dein Freund werft eine Münze. Du wettest auf Zahl, er auf Kopf. Ihr beide setzt je 5€.
Dann liegen in der Mitte 10€. In der Hälfte der Fälle bekommst du 10€, wovon 5€ dein Einsatz waren und 5€ Gewinn (der Einsatz deines Freundes). In dem anderen Fall verlierst du deine 5€ Einsatz.
Was ist also der Erwartungswert, wie viel Geld du nach dem Münzwurf hast?
E = 0,5 * 10 + 0,5 * (-5)
E = 5 - 2,5
E = 2,5
Wenn du es wie oben erklärt berechnen würdest, wäre der Erwartungswert, dass du 2,5€ Verlust machst, schließlich hast du 5€ eingesetzt. Das ist aber die falsche Sicht- und Herangehensweise. Du darfst bei dieser Art Betrachtung nur den Gewinn betrachten, den du erwirtschaftest heranziehen:
E = 0,5 * 5 + 0,5 * (-5)
E = 2,5 - 2,5
E = 0
Das Spiel wäre also fair.
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Ich persönlich habe aber festgestellt, dass die meisten Schüler schlicht vergessen, dass sie dafür dann nur den Gewinn heranziehen dürfen (mich eingeschlossen als Schüler). Also sage ich ihnen, dass sie den Erwartungswert besser damit berechnen, dass sie sich nur auf die Ausschüttung konzentrieren.
Wie viel bekommst du, wenn du gewinnst? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür? In dem Beispiel:
Du bekommst 10€ wenn du gewinnst und die Wahrscheinlichkeit dafür ist 50%, also ist der Erwartungswert?
E = 10 * 0,5
E = 5
Und das vergleichst du jetzt mit deinem Einsatz: Du setzt 5€ ein und bekommst im Durchschnitt 5€ wieder raus. Beides ist ausgeglichen und damit fair.
Verstehst du jetzt den Unterschied? Bei dem einen Fall wird der potentielle Gewinn mit dem Einsatz verglichen. So wie ich es dir erklärt habe, vergleichst du aber Ausschüttung (wie viel Geld bekommst du, wenn du gewinnst) mit Einsatz.
Wie du es berechnest, hängt von dir ab.
Ja, ich habe es besser verstanden jetzt. Also allgemein gibt es dann ja mehrere Wege, wie man das spiel fair macht. Entweder man ändert den Einsatz, die Auszahlung oder Gewinn. Je nach dem, was gefragt wird.
Also nur damit es mir klarer wird:
wenn ich den Einsatz ändern soll, so, dass er am Ende fair ist, würde ich so rechnen wie die Frau im Video. Es geht ja darum, dass der Einsatz so hoch sein muss, wie der erwartende Gewinn. Also abziehen oder dazugeben
Wenn ich etwas an der Auszahlung ändern soll, kann man ja die Gleichung gleich null setzen und nach x auflösen.
bei der Ausschütterung würde ich den Rechenweg wie von dir oben bereits erklärt, nehmen. Also ich glaub die Wahrscheinlichkeit mal x = Einsatz und dann nach x auflösen, dann ist x dee gewinn.
Erstmal danke für deine gute Erklärung!
Bei einem anderen Video wird gesagt, dass man den Einsatz plus Erwartungswert berechnen kann damit das Spiel fair ist. Also so kann man den Einsatz ändern. Ich hab dann 5 (Einsatz) + (erwartungswert) = 9. ist das auch richtig