3 gleiche Kreise in einem Kreis, radius berechen?
2 Antworten
Hallo,
betrachte die Zeichnung.
Das rote Dreieck ist gleichschenklig. Die Schenkel (blau) haben die Länge vom Radius eines der kleinen Kreise plus dem Abstand eines kleinen Kreises zum Mittelpunkt des großen Kreises.
Die lange Seite zwischen den beiden blauen Schenkeln (grün), hat die Länge zweier Radien eines kleinen Kreises.
Der Winkel zwischen den beiden blauen Schenkeln hat 120°, denn der Kreis wird durch die Verbindungen zwischen den Mittelpunkten der kleinen Kreise und den Stellen, an denen die kleinen Kreise den großen Kreis berühren, in drei gleich große Sektoren unterteilt.
Setze r (Radius eines kleinen Kreises) gleich 1.
Dann ist die lange Seite des roten Dreiecks gleich 2 (2*r).
Die Basiswinkel des roten Dreiecks haben jeweils 30°, denn sie ergänzen den stumpfen Winkel von 120° zu 180° und sind zudem gleich groß.
Nach dem Sinussatz gilt dann:
Einer der blauen Schenkel verhält sich zum Sinus von 30°
wie 2 zum Sinus von 120°.
Somit ist die Länge des blauen Schenkels gleich
2*sin (30)/sin (120)=(2/3)*Wurzel (3).
Der Radius des großen Kreises ist so ein blauer Schenkel plus der Radius des kleinen Kreises (1).
Somit hat der große Kreis einen Radius von 1+(2/3)*Wurzel (3).
Genau das ist der Faktor, mit dem Du einen beliebigen Radius eines der kleinen Kreise multiplizieren mußt, um den Radius des großen Kreises zu erhalten.
Herzliche Grüße,
Willy
Verbindet zunächst die Mittelpunkte der 3 inneren Kreise. Dadurch ergibt sich ein Dreieck, dessen Höhe du berechnen musst (Pythagoras). Danach siehst du vielleicht schon weiter.