Zwischenraum von Kreisen
Hallo ich habe eine Frage. Ich habe einen großen Kreis mit r= 1 und in dem Kreis sind 3 weitere kleine Kreise. Die 3 Kreise sind gleich groß und liegen alle nebeneinander. Jetzt muss man die Fläche in der Mitte zwischen den Kreisen berechnen. Wie kann man die Formel so umstellen, dass ich die Fläche zwischen den Kreisen habe. Man hat dazu nur den radius des großen Kreises 1
Danke
6 Antworten
Habe dir mal eine Zeichnung gemacht. Die Mittelpunkte der kleinen kreise bilden mit dem Radius r ein gleichseitiges Dreieck. Der Mittelpunkt des Dreiecks ist der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Radius R.
R=x+r
dabei ist x der Abstand des Mittelpunkts kleiner Kreis von Mittelpunkt großer Kreis.
Mit dem Pythagoras: y²+r²=x²
In einem gleichseitigen Dreieck unterteilt der Mittelpunkt die Höhe im Verhältnis 1:2, also gilt
y=1/2 x -> einsetzen
1/4 x²+r²=x²
r²=3/4 x²
x²=4/3 r²
x= 2/W(3) r (W heißt Wurzel)
Das in die erste Formel einsetzen
R=2/W(3) r+r
Das soll ja =1 sein
1=2/W(3) r+r
1=r[2/W(3) + 1]
r=1/[2/W(3) + 1]
r=0,4641...
Jetzt nur noch von der großen Kreisfläche 3 * die kleine Kreisfläche abziehen.
Als Ergänzung zu meiner Antwort die geschlossene Formel:
F = R² * (sqrt(3) – π/2) / (1 + 2 * sqrt(3))²
Für 4 Kreise > Bild
Habe ich die Aufgabe richtig verstanden, dass die Fläche gesucht ist, die von den 3 kleinen Kreisen begrenzt wird, dh. dem "Zwickel" zwischen den Kreisen??
Wenn ja, dann siehe Bild.
Da bei Kommentaren keine Bilder möglich sind > Neue Antwort
Da r = 1, reduziert sich die Fläche auf
A = (8/9) π
ok Danke genau so habe ich das gemeint. Um das richtig zu verstehen wie müsste ich es dann z.b. machen wenn ich anstatt 3 Kreisen, 4 gleichgroße Kreise in einem großen Kreis habe? und der Radius vom großen Kreis ist auch 1
Also als Formeländerung die darüber steht