10^(-3,5) ohne Taschenrechner rechnen?
5 Antworten
10^(-3,5) ist gleich 1 geteilt durch 10^3,5
und die 10^3,5 kann man sich noch einteilen in 10^3 und 10^0,5
10^3 = 1000
10^0,5 = Wurzel(10) = die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 10 ergibt.Mit etwas Ausprobieren kommt man darauf, dass Wurzel 10 etwas größer als 3 ist, denn 3* 3 = 9. Dann probiert man weiter 3,1 * 3,1 und 3,2 * 3,2 und grenzt dies weiter ein bis auf die gewünschte Nachkommastellenanzahl.
Wurzel 10 = 3,16227766....
10^(-3,5) ist also 1 / 3162,27766
und dies ist (wahrscheinlich nicht zufällig) = 0,000316227766
Richtig, dies ist nicht zufällig, es resultiert daher, dass
1/Wurzel(10) = Wurzel(10)/10
man kann es relativ genau überschlagen:
10^(-3,5) = 1/10^3,5
10^3,5 = 10³ * 10^0,5 = 10³ * Wurzel (10)
Wurzel 10 ist etwas über 3 (da 3 * 3 = 9),
daher ist 10^3,5 etwas mehr als 3 * 1000 = 3000
10^(-3,5) ist daher etwas weniger als 1/3000 = 1/3 * 1/1000 = 0,3333/1000 = 0,000333333
Aufgrund der Nebenbemerkung von @Paguangare in seiner/ihrer Antwort, hier noch ein "genauerer" Weg:
1/Wurzel(10) = Wurzel(10)/10
Die genaue Lösung ist also:
Wurzel(10)/10000
Je ganauer man also Wurzel(10) kennt (oder bestimmern kann), um so genauer ist das Ergebnis!
10^(-3,5)
Wie du es auch anstellst, eine √10 bleibt immer drin.
Als erstes beseitigst du den negativen Exponenten.
Und 3,5 = 7/2 , das weiß man ja auch.
10⁻³'⁵ = 1 / 10⁷ᐟ² | 4. Potenzgesetz und Bruchrechnung
= 1 / (10³⁺¹ᐟ²) | 1. Potenzgesetz
= 1 / 10³ * 10¹ᐟ² | umformen
= 1 / (1000 * √10)
Das geht durchaus im Kopf, mindestens aber halbschriftlich.
Streng genommen gehört noch ± davor, aber das ist wohl bei dieser Aufgabe nicht so wichtig.
10^(-3,5)=1/10^(3,5)=1/10^(7/2)=1/10^7^(1/2)=1/10000000^(1/2)=1/sqrt(100000000)=1/sqrt(10)/sqrt(1000000)=1/(1000*sqrt(10))
Damit kommt man an eine Näherunglösung. Exakt wird es im Kopf wohl nicht gehen.
10^(-3,5)
= 10^(-7/2)
= 1/10^(7/2)
= 1/√(10^7)
= 1/(10³•√10)
= 1/(1000•√10)