((1-i)/sqrt(2))^2022 umschreiben um reelteil und imaginärteil zu bekommen?
( (1-i)^2022/ 2^1011 ) was ich nun nicht checke, bei Wurzel 2 konnte man das gut darstellen, zu 2 hoch 1011, aber wie bekommt man das bei (1-i) hin zsmzufassen?
2 Antworten
Mit der Polarform geht das schnell und ist auch eine klasse Übungsaufgabe für die Umrechnung von der algebraischen Form in die Polarform, wie auh die Berechnung vom Argument und Betrag einer komplexen Zahl:
(1 - i)^2022 = ?
z = 1 - i
z = |z| * e^{arg(z) * i}
z = sqrt(a² + b²) * e^{arctan2(b, a) * i}
a = 1, b = -1
z = sqrt(1² + (-1)²) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(1 + 1) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(2) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(2) * e^{-45° * i}
z = sqrt(2) * e^{-45° * i}
(1 - i)^2022 = ? | 1 - i = sqrt(2) * e^{-45° * i}
(sqrt(2) * e^{-45° * i})^2022 = ?
sqrt(2)^2022 * e^{-45° * 2022 * i} = ?
sqrt(2)^2022 * e^{-9090° * i} = ? | e^{xi} = cos(x) + sin(x)i
sqrt(2)^2022 * (cos(-9090°) + sin(-9090°)i) = ?
sqrt(2)^2022 * cos(-9090°) + sqrt(2)^2022 * sin(-9090°)i = ?
Re((1 - i)^2022) = sqrt(2)^2022 * cos(-9090°)
Im((1 - i)^2022) = sqrt(2)^2022 * sin(-9090°)
rechne in Polarkoordinaten, dann wird es ganz einfach.
Bringe die Zahl (1-i)/sqrt(2) in die Eulersche Form r·e^(iφ). r ist der Betrag und φ ist der Winkel zur reellen Achse. Zeichne dazu erst Mal die Zahl 1−i und berechne deren Betrag. Dann macht's hoffentlich „klick“.
Beim Potenzieren wird der Betrag r potenziert und der Winkel φ multipliziert. Das geht bei diesen Werten im Kopf.
Wiie kann ich den Betrag davon berechnen? Müsste ich dafür nicht das zuvor umformen?
weil Betrag sagt ja imaginärteil hoch 2 plus reel Teil
Bist du nicht der, der dauern andere Accounts nutzt, weil du die Passwörter vergisst? Dann hast du die Polarkoordinaten garantiert schon gehabt, weil du schon Mal was dazu gefragt hast.
darf ich das dann trz nutzen?
Du kannst alternativ z² für z=(1−i)/√2 berechnen. Freu Dich dann über das schöne Ergebnis und berechne auch z⁴ und z⁸.
Und nun ein paar Potenzgesetze: z²⁰²² = (z⁸)²⁵²·z⁴·z² = ?
... und dabei unbedingt das 1/Wurzel(2) drinnen lassen und nicht - wie in der Fragestellung angedeutet - "extra" verrechnen.
Was genau ist mit Polarkoordinaten gemeint?