Textaufgaben das Kartenspiel?
Wer kann helfen wie rechnet man das?
Klaus und ich waren mit unseren Frauen auf ein Glas Wein in den Dorfkrug gegangen. Wir studierten gerade die Weinkarte, als Sigismund Sülzheimer und seine Freunde Albrecht, Berthold und Clemens die Kneipe betraten. Sie setzten sich an einen Tisch und riefen dem Wirt zu, er möge ihnen vier Bier und ein Kartenspiel bringen. Dann baute jeder vor sich mehrere Türmchen aus Ein-Euro-Münzen auf. Während Sigismund die Karten mischte und austeilte, betrachtete Berthold die Münztürme von Albrecht und Clemens und meinte dann:"Ihr beide habt zusammen genau doppelt so viel Geld wie ich." Dann begann das Spiel. Sigismund hatte Glück: Nach kurzer Zeit hatte er doppelt so viele Münzen vor sich liegen wie zu Anfang. "Eine Runde Champagner für die Damen!" rief er und blinzelte ringsum den Frauen zu. Sigismund hält sich für den schönsten Mann im Ort und seinen Charme für unwiderstehlich. Er sei ein Frauentyp, betont er immer wieder. Allerdings teilen nur sehr wenige diese Einschätzung. "Champagner bekommst du nur gegen Vorauszahlung", sagte der Wirt und nannte einen ganzzahligen Eurobetrag. "Kein Problem", erwiderte Sigismund und nahm das Geld von seinen Eurotürmchen. Dann spielten die vier Männer weiter. Sigismund hatte eine Glückssträhne. Im Nu hatte er den Rest seines Geldes wieder verdoppelt und rief erneut: "Champagner für die Damen!" Der Wirt ließ sich wieder das Geld geben und Sigismund spielte mit den ihm verbliebenen Münzen weiter. Noch einmal hatte er Glück, verdoppelte den Rest seines Geldes und gab eine Runde Champagner aus. Die vier Männer spielten weiter und Sigismund konnte ein viertes Mal den Rest seines Geldes verdoppeln. Dabei gewann er das gesamte Geld, das seinen Freunden noch verblieben war. Ein weiteres Mal spendierte er den anwesenden Frauen ein Glas Champagner, dann hatte der schöne Sigismund keine einzige Münze mehr. "Glück im Spiel und Glück in der Liebe", sagte er beim Blick in die leere Geldbörse. Dann warf er den Frauen eine Kusshand zu, sagte dem Wirt, er möge das Bier anschreiben und verließ mit seinen Freunden den Dorfkrug.
"Was meinst du?" meinte Klaus' leicht beschwipste Frau auf dem Heimweg. "Wieviel Geld hatte unser spendabler Sigismund, bevor die vier anfingen zu zocken?" "Keine Ahnung!" erwiderte Klaus. "Ich weiß nur, daß jede der vier Champagnerrunden gleich teuer war und daß Berthold zu Anfang zwischen 50 und 100 Euro hatte."
Wieviel Geld hatte Sigismund zu Beginn? =
Wieviel Geld hatte Berthold zu Beginn? =
Wieviel Geld kostete eine Runde Champagner? =
3 Antworten
Die Aufgabe wird übersichtlicher, wenn man Albrecht, Berthold, Clemens zunächst als Gruppe betrachtet. Ebenso kommt der Wirt ins Spiel, der am Ende das gesamte Anfangsguthaben als Umsatz verbucht.
Verteilung vor dem Spiel
Gruppe : a EUR
Sigi : b EUR
Wirt : 0 EUR
Verteilung nach 1. Spiel
Gruppe : a1
Sigi : 2b-sekt
Wirt : sekt
Verteilung nach 2. Spiel
Gruppe : a2
Sigi : (2b-sekt)*2-sekt = 4b-3sekt
Wirt : 2sekt
Verteilung nach 3. Spiel
Gruppe : a3
Sigi : (4b-3sekt)*2-sekt = 8b-7sekt
Wirt : 3sekt
Verteilung nach 4. Spiel
Gruppe : a4
Sigi : (8b-7sekt)*2-sekt = 16b-15sekt
Wirt : 4sekt
Weil das Anfangsguthaben a+b unverändert bleibt, muss nun gelten
(I) a4 + (16b-15sekt) + 4sekt = a+b
Nun gilt
a4 = 0 (Albrecht, Berthold, Clemens pleite)
16b-15sekt = 0 (Sigi Pleite)
Somit gilt
4sekt = a+b
sekt = (a+b)/4
1 Sekt kostet also 1/4 des gesamten Anfangsguthabens a+b
Wegen 16b-15sekt = 0 (Sigi Pleite)
gilt
Anfangsguthaben Sigi b = 15sekt/16
Für alle Werte von sekt = N * 16 gibt es eine ganzzahlige Lösung und das Anfangsguthaben der drei anderen a ergibt sich aus
a = 4*sekt - b = 4*sekt - 15sekt/16 = 49sekt/16
Beispiele:
Sekt 16 EUR -> Sigi startet mit 15 EUR, die drei anderen mit 49 EUR
Sekt 32 EUR -> Sigi startet mit 30 EUR, die drei anderen mit 98 EUR
Sekt 48 EUR -> Sigi startet mit 45 EUR, die drei anderen mit 147 EUR
Sekt 64 EUR -> Sigi startet mit 60 EUR, die drei anderen mit 196 EUR
Sekt 80 EUR -> Sigi startet mit 75 EUR, die drei anderen mit 245 EUR
Sekt 96 EUR -> Sigi startet mit 90 EUR, die drei anderen mit 294 EUR
Sekt 112 EUR -> Sigi startet mit 105 EUR, die drei anderen mit 343 EUR
Weil nun für die Gruppenmitglieder Albrecht=ga, Berthold=gb, Clemens=gc zusätzlich ga+gc=gb/2 gilt, hat Berthold genau ein Drittel des Anfangsguthabens der Gruppe.
Nun lässt sich z.B. die Lösung mit 147 EUR durch drei teilen, ergibt aber 49 EUR für Berthold, was zu wenig ist.
Der nächste Kandidat sind die 245 EUR, da hat Berthold 96 EUR. Bei weiteren Lösungen hätte Berthold mehr als 100 Euro.
Die Aufgabe ist deshalb schwierig, weil man zuerst das Wichtige vom Unwichtigen trennen muss.
- Gesamtbetrag: g = s+a+b+c
- Eine Runde Schampus kostet r
- a+c = 2b
- Nach der 1.Runde hat S noch 2s-r
- Nach der 2.Runde hat S noch (2s-r)*2-r
- Nach der 3. Runde hat er ((2s-r)*2-r)*2-r
- Nach der 4. Runde gilt (((2s-r)*2-r)*2-r)*2=g - 3r
- Der letzte Betrag ist = r
Sigismund: 90,- €
Berthold: 98,- €
Champagner: 96,- €