Aber es ist doch so dass die Zeit dann schneller vergeht, selbst wenn es nur 0,000000000000000000001 Nanosekunden sind, der Unterschied ist ja trotzdem da oder nicht?

Nein, dass ist nicht so und Dein Lehrer hat recht. Die sogenannte Eigenzeit ist im bewegten System genauso schnell oder kurz wie im ruhenden (wobei "ruhend" schon eine sehr verkürzte Sprechweise ist. Prinzipiell kann man das so nicht sagen, denn man kann überhaupt keine absolute Ruhe definieren). Die Zeitdilatation misst ein Beobachter, der relativ zu ihm bewegte Uhren beobachtet (zudem misst man dann, dass die Uhren im bewegten System langsamer gehen und nicht schneller).

Ergänzung: Man kann sich das mit dem Satz "Bewegte Uhren gehen langsamer" merken. Für den Autofahrer bewegt sich seine Uhr gar nicht. Sie bleibt die ganze Zeit völlig in Ruhe an seinem Handgelenk.