Und hätte sie immer noch alle ihre Mails die sie vorher hatte

Nein, das geht so nicht wie Du Dir das vorstellst. Beim Domaintransfer wird die Domain technisch portiert und dafür gesorgt, dass bestimmte Einträge in der Domain Registry geändert werden (DNS, Zonenverwalter, Admins etc. pp.). Inhalte von Mailservern oder sonstigen Diensten haben damit nichts zu tun. Wenn also Deine Mutter IMAP als Mailprotokoll nutzt, dann muss sie schon selbst dafür Sorge tragen, dass alle Mail-Inhalte in Ihrem Client Programm sind (Sync) und sie dann frisch auf der neuen Domain-Infrastruktur beginnen kann. Mit Browser-basiertem E-Mail funktioniert das dann definitiv nicht.