Flächenfunktion und Nebenbedingung:

Die Breite "b" aus (2) in (1)

Das ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen

Der Scheitelpunkt und damit das Maximum der Parabel befindet sich genau in der Mitte zwischen den Nullstellen:

Damit ergibt sich für b an dem das Rechteck seine maximale Fläche hat:

Nicht ganz überraschend ist ein Quadrat dasjenige Rechteck mit der größten Fläche bei gegebenen Umfang.

Anmerkung: Falls das eine Übung zu Analysis "Extremwertaufgaben" sein sollte, kann man das ganze natürlich auch mit der Nullstelle der 1. Ableitung berechnen