Auf der einen Seite gilt W = F * s . Auf der anderen Seite soll für die Beschleunigungsarbeit auch W = 1/2 * m * v² gelten.

Das ist nicht "auf der einen Seite" und "auf der anderen Seite", sondern W = F * s ist die Definition von Arbeit ganz allgemein (in einer etwas abgespeckten Version, die ohne Integrale auskommt) und das andere ist dann eine Folge aus dieser Definition für den Fall eines ganz speziellen physikalischen Vorgangs. Aus den beiden Bewegungsgleichungen für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung



erhält man durch Einsetzen von (2) in (1)



Und nun setzt Du das in die Definition der Arbeit ein (und kürzt "a"):



In welchen Situationen kommen beide, vor allem die letzte Formel zu Anwendung?

Die erste ist grundsätzlicherer Natur, da sie einen physikalischen Begriff definiert und dann auch herangezogen wird, wenn es etwas Neues zu berechnen gilt. Zum Beispiel kann man damit sofort die Arbeit berechnen, die zum Heben in einer Masse "m" im Schwerefeld der Erde "g" auf eine Höhe "h" aufgewendet werden muss: W = m ·g ·h.

Der andere Aspekt ist der: Durch die aufgewendete Arbeit steckt dann in dem Objekt eine der Arbeit entsprechende Energie. Beim Heben einer Masse steckt dann in er Masse eine "Lageenergie" (potenzielle Energie) und nach dem Beschleunigen einer Masse auf eine bestimmte Geschwindigkeit steckt in der Masse die entsprechende "Bewegungsenergie" (kinetische Energie). Also:



Die letzteren Gleichungen werden also immer dann verwendet, wenn eine Problemstellung mithilfe des Energieerhaltungssatzes gelöst werden soll oder es praktikabler erscheint, damit gelöst zu werden.