Ehrlich gesagt verstehe ich das Fragewort "Warum" hier nicht. Wie man mathematisch nachweisen kann, tut sie das einfach nicht. Du könntest fragen, wie man das beweisen kann, aber ein "Warum" hat man dann auch nicht beantwortet.

Den (einen) Beweis findest Du hier:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Harmonische_Reihe#Divergenz_der_harmonischen_Reihe

(Er läuft am Ende darauf hinaus, dass man für die Partialsumme bis 2^n abschätzen kann, dass diese mindestens größer als 1+n/2 ist und damit divergiert das für n gegen Unendlich)