Ich würde das (überdeutlich) so rechnen (Da ich zur Vermeidung von Vorzeichenfehlern gerne addiere statt subtrahiere, wird in den Nebenrechnungen das jeweilige Ergebnis mit -1 multipliziert).

(  x³ - 2x² - 2x + 4 ) : (x - 2)  = x²        siehe 1)
  -x³ + 2x²                              
-----------------------------
            - 2x + 4  : (x - 2)  = - 2        siehe 2)
            + 2x - 4
-----------------------------
                   0

Von oben nach unten: x² - 2  also:
(x³ - 2x² - 2x + 4 ) : (x - 2)  = x²- 2

Nebenrechnung 1)
  (x - 2)·x² =   x³ - 2x²
 -(x³ - 2x²) = - x³ + 2x²

Nebenrechnung 2)
   (x - 2)·(-2) = - 2x + 4
 - (- 2x + 4) = + 2x - 4