Zuerst eine Frage zum Wegintegral. Was heißt, über den Weg C integrieren?

Soviel wie "entlang des Weges". Und wenn der Weg gekrümmt ist, dann eben "entlang des gekrümmten Weges"

Sind dann r1 und r2 einfach die obere und untere Grenze?

Im Prinzip ja, aber als Vektoren. Und nur wenn das Feld/Kraftfeld "konservativ" ist, spielt der Weg keine Rolle (und es existiert ein Potential des Kraftfelds)

Heißt das dann, dass dV auch nicht mitgerechnet wird?

Was heiß hier "nicht mitgerechnet"? "dV" ist das "infinitesimale" Volumenelement, die alle mit Hilfe der Integralrechnung "zusammengezählt" werden.

Aber ich dachte, die Masse ist rho *V

Fast nichts in dieser Welt ist so wie in der Schule konstant (außer Naturkonstanten natürlich). Alles hängt vom Ort ab und so ist auch die Dichte (ob von Masse oder Ladung) in der Regel nicht konstant. Die Dichte der Erde beispielsweise ist extrem inhomogen und daher ist die Dichte ρ selbst eine Funktion des Ortes und damit ρ(r) (Dichtefunktion der Masse). Im Ergebnis muss man eine Masse als Volumenintegral



berechnen (und dazu die Dichteverteilungsfunktion ρ(r) kennen) und nur wenn ρ(r) = ρ = konstant ist, kann man das ρ vor das Integral ziehen (Faktorregel) und damit wird die Masse mit



zu der Formel, die man in der Schule benutzt (in der man ja in aller Regel nur mit absolut idealisierten Systemen/Fällen rechnet)