Der "Korrekturfaktor" kommt daher, dass in der (inneren) Funktion nicht ein 1·x steht, sondern ein (π/2)·x. Wenn Du nun die Stammfunktion ableitest, entsteht daraus bei der Anwendung der Kettenregel ein Faktor (π/2). Der steht aber in der Ausgangsfunktion f(x) gar nicht da, also musst Du den mit 2/π = 1/(π/2) wieder zum Verschwinden (i.e. zu einem Faktor 1) bringen (zur Erinnerung: Es muss F'(x) = f(x) gelten).

Dieses "Korrigieren" ist eigentlich eine Abkürzung der Integration mithilfe der Substitution, die in manchen Fällen aber aussieht wie "mit Kanonen auf Spatzen schießen", aber immer die Grundlage dieses "Korrigierens" ist.

Daher mein Rat:
Prüfe nach der Bestimmung einer Stammfunktion F(x) stets, ob F'(x) = f(x) erfüllt ist. Wenn nicht, kann an Deiner Rechnung etwas nicht korrekt sein.