Ich würde so lösen:

Da in der Aufgabe steht, dass die Funktion die x-Achse bei x=4 "berührt" heißt das, dass es eine dritte Nullstelle (Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion dritten Grades) geben muss und die Funktion daher faktorisiert geschrieben werden kann.



("berührt" heißt auch: Bei x=4 ist kein Vorzeichenwechsel also liegt eine doppelte Nullstelle vor und daher kommt dann das Quadrat bei (x-4))

Nun hat man nur noch 2 Unbekannte: "a" und "d" mit den 2 Bedingungen;



Letztere Gleichung erfordert natürlich die Berechnung der zweiten Ableitung (was ich mir hier erspare). Am Ende bekommt man damit auf:



Die gesuchte Funktion lautet also:



Skizze: